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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. |
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Il risultato della eliminazione di ω da queste equazioni è:
ove K = cd H, K’ = γδ H’. Dunque il luogo richiesto è una superficie del sesto ordine (57).
Veniamo ora ai casi particolari.
1.º Sia
a =
c, cioè la prima direttrice rettilinea si appoggi in un punto alla cubica gobba: allora si ha
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\omega -d}{\omega (\omega -b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ae1b7f85ceb8c71d8a7bdfb3235f5af0cefe74)
, quindi, posto
L = H + bE, si ha l’equazione:
che è del quinto grado rispetto alle coordinate A, B, C, D (58).
2.º Sia
a =
c,
b =
d, cioè la prima direttrice rettilinea si appoggi alla cubica in due punti; allora
![{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e7287a887c14217a1bcbac5933a54e73d1d99e)
, quindi si ha l’equazione:
H3E’ — H2EF’ + HE2G’ — γδE3H’ = 0
che è del quarto grado (59).
3.º Sia
a =
c, α = γ, cioè le due direttrici rettilinee si appoggino ciascuna in un punto alla cubica gobba: allora
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\omega -d}{\omega (\omega -b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ae1b7f85ceb8c71d8a7bdfb3235f5af0cefe74)
,
![{\displaystyle \lambda '={\frac {\omega -\delta }{\omega (\omega -\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713a30dc0c84406b9a0210b083c027362883e6df)
, quindi si ha:
(dHE’ — δH’E)2 — (δH’ (H + bE) — dH (H’ + βE’)) (E (H’ + βE’) — E’ (H + bE)) = 0 |
equazione del quarto grado (59).
4.º Sia
a =
c,
b =
d, α = γ cioè una delle direttrici rettilinee si appoggi in due punti e l’altra in un solo punto alla cubica gobba: allora
![{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e7287a887c14217a1bcbac5933a54e73d1d99e)
,
![{\displaystyle \lambda '={\frac {\omega -\delta }{\omega (\omega -\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713a30dc0c84406b9a0210b083c027362883e6df)
, e si ha la:
H2E’ — HE (H’ + βE’) + δE2H’ = 0
equazione del terzo grado (60).