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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

Da queste ultime equazioni si ricava reciprocamente:

$\lambda ={\frac {\lambda '(\mu '+\nu ')-2\mu '\nu '}{2\lambda '-(\mu '+\nu ')}},$     $\mu ={\frac {\mu '(\nu '+\lambda ')-2\nu '\lambda '}{2\mu '-(\nu '+\lambda ')}},$     $\nu ={\frac {\nu '(\lambda '+\mu ')-2\lambda '\mu '}{2\nu '-(\lambda '+\mu ')}}$

onde segue che, se il piano fisso è rappresentato dall’equazione 17), il piano congiunto lo sarà dalla 16). È poi degno d’osservazione che i sei punti di parametri λ, μ, ν; λ’, μ’, ν’, ne’ quali i due piani 16) e 17) congiunti l’uno all’altro incontrano la cubica gobba, costituiscono un sistema in involuzione. Cioè: se un piano è congiunto ad altro, viceversa questo è congiunto a quello; e i sei punti in cui la cubica gobba è incontrata da due piani fra loro congiunti sono in involuzione.

28. Continuando nell’argomento del paragrafo precedente, pongasi:

A’’ = A — 3ν’B + 3ν’²C — ν’³D
B’’= A — (2ν’ + μ’)B + ν’(2μ’ + ν’)C — μ’ν’²D
C’’= A — (2μ’ + ν’)B + μ’(2ν’ + μ’)C — ν’μ’²D
D’’ = A — 3μ’B + 3μ’²C — μ’³D

onde le equazioni 2) si trasformeranno nelle seguenti:

A’’ : B’’ : C’’ : D’’ = y³ : y² : y : 1

ove

$y={\frac {\omega -\nu '}{\omega -\mu '}}$

e l’equazione 17) diverrà:

B’’ — lC’’ = 0

ove

$l={\frac {\lambda '-\nu '}{\lambda '-\mu '}}$

ossia le equazioni dei piani congiunti 16), 17) saranno:

16)                    B’ — kC’ = 0                    17)                    B’’ — lC’’ = 0.

Per un dato valore di ω abbiamo nel piano 17) il polo:

A’ : B’ : C’ : D’ = 3kx² : x(2x — k) : x — 2k : — 3

e nel piano 16) il polo:

A’’ : B’’ : C’’ : D’’ = 3ly² : y(2y — l) : y — 2l : — 3.