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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 63

bica in una conica; il polo di questa retta rispetto a questa conica ha per luogo geometrico un’altra conica. Per brevità il piano di quest’ultima conica si dirà congiunto al dato piano fisso.

Se il piano fisso si suppone a distanza infinita, il teorema precedente somministra quest’altro: i centri delle coniche risultanti dal segare coi piani osculatori d’una cubica gobba il fascio delle sue tangenti sono tutti in una stessa conica.

L’equazione del piano fisso ora sia:

16)
A — (λ + μ + ν)B + (μν + νλ + λμ)C — λμν D = 0


cerchiamo l’equazione del piano congiunto. A tale uopo osservo che alle equazioni 2) si possono sostituire le seguenti:

A’ : B’ : C’ : D’ = x3 : x2 : x : 1


ove:

A’ = A — 3νB + 3ν2C — ν3D
B’= A — (2ν + μ)B + ν(2μ + ν)C — μν2D
C’= A — (2μ + ν)B + μ(2ν + μ)C — νμ2D
D’ = A — 3μB + 3μ2C — μ3D


e inoltre:


Per questa sostituzione l’equazione del piano fisso 16) diviene:

B’ — kC’ = 0


ove:


epperò l’equazione del piano congiunto sarà:

2A’ — 3kB’ — 3k2C’ + 2k3D’= 0


ossia:

17)
A — (λ’ + μ’ + ν’)B + (ν’μ’ + λ’ν’ + μ’λ’)C — λ’μ’ν’D = 0


ove: