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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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bica in una conica; il polo di questa retta rispetto a questa conica ha per luogo geometrico un’altra conica. Per brevità il piano di quest’ultima conica si dirà congiunto al dato piano fisso.

Se il piano fisso si suppone a distanza infinita, il teorema precedente somministra quest’altro: i centri delle coniche risultanti dal segare coi piani osculatori d’una cubica gobba il fascio delle sue tangenti sono tutti in una stessa conica.

L’equazione del piano fisso ora sia:

16)	A — (λ + μ + ν)B + (μν + νλ + λμ)C — λμν D = 0

cerchiamo l’equazione del piano congiunto. A tale uopo osservo che alle equazioni 2) si possono sostituire le seguenti:

A’ : B’ : C’ : D’ = x³ : x² : x : 1

ove:

A’ = A — 3νB + 3ν²C — ν³D
B’= A — (2ν + μ)B + ν(2μ + ν)C — μν²D
C’= A — (2μ + ν)B + μ(2ν + μ)C — νμ²D
D’ = A — 3μB + 3μ²C — μ³D

e inoltre:

$x={\frac {\omega -\nu }{\omega -\mu }}.$

Per questa sostituzione l’equazione del piano fisso 16) diviene:

B’ — kC’ = 0

ove:

$k={\frac {\lambda -\nu }{\lambda -\mu }}$

epperò l’equazione del piano congiunto sarà:

2A’ — 3kB’ — 3k²C’ + 2k³D’= 0

ossia:

17)	A — (λ’ + μ’ + ν’)B + (ν’μ’ + λ’ν’ + μ’λ’)C — λ’μ’ν’D = 0

ove:

$\lambda '={\frac {\lambda (\mu +\nu )-2\mu \nu }{2\lambda -(\mu +\nu )}},$     $\mu '={\frac {\mu (\nu +\lambda )-2\nu \lambda }{2\mu -(\nu +\lambda )}},$     $\nu '={\frac {\nu (\lambda +\mu )-2\lambda \mu }{2\nu -(\lambda +\mu )}}.$