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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

h indeterminata. Per determinare il punto in cui questa generatrice è incontrata dalla cubica 12), 13) cerchiamo le equazioni della generatrice secondo la quale il piano B — hC’ = 0 sega il cono 13); esse sono:

15)	B — hC’ = 0,          h(β — γ)C’ + (β(γz — 1) + hγ(1 — βz))D’ = 0

quindi il punto richiesto è determinato dalle tre equazioni 14) e 15). Dando a z quattro valori particolari z₁, z₂, z₃, z₄ successivamente, otterremo i quattro punti in cui la generatrice 14) è incontrata da quattro cubiche gobbe passanti pei cinque punti dati e appoggiate alla retta data, ciascuna in un altro punto. Il rapporto anarmonico de’ quattro punti è eguale a quello de’ quattro piani condotti per essi rispettivamente e per una medesima retta qualunque, per esempio la C’ = D’ = 0. Le equazioni de’ quattro piani sono:

E + z_rD’ = 0;          (r = 1, 2, 3, 4)

ove:

βγ(1 — h)E = h(β — γ)C’ + (hγ — β)D’

epperò il rapporto anarmonico in quistione è

${\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}}$

quantità indipendente da h, c. d. d.

27. Il piano osculatore della cubica gobba 2) nel punto di parametro ω taglia la superficie sviluppabile 3), di cui la cubica è lo spigolo di regresso, secondo la conica rappresentata dalle equazioni:

A — 3ωB + 3ω²C — ω³D = 0

(A — ωB)² — 4ω²(B² — AC) = 0,     ovvero     (C — ωD)² — 4(C² — BD) = 0.

Lo stesso piano osculatore taglia il piano:

B — hC = 0

secondo una retta, il cui polo rispetto alla conica anzidetta è rappresentato dalle equazioni:

A : B : C : D = 3hω² : ω(2ω — h) : ω — 2h : — 3

dalle quali eliminando ω si hanno le:

2A — 3hB — 3h²C + 2h³D = 0,          h(3C — 2hD)² + AD = 0

rappresentanti un’altra conica. Ossia: un piano osculatore variabile di una cubica gobba taglia un piano fisso seconda una retta, e il fascio delle rette tangenti alla cu-