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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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Allora la equazione de’ due coni di second’ordine passanti entrambi per questi sei punti, ed aventi il vertice l’uno nel punto A’ = B’ = C’ = 0, l’altro nel punto D’ = B’ = C’ = 0, saranno

${\frac {a(b-c)}{\mathrm {A} '}}+{\frac {b(c-a)}{\mathrm {B} '}}+{\frac {c(a-b)}{\mathrm {C} '}}=0;$ ${\frac {d(b-c)}{\mathrm {D} '}}+{\frac {b(c-d)}{\mathrm {B} '}}+{\frac {c(d-b)}{\mathrm {C} '}}=0.$

Posto:

B = c (b — d) B’ + b (d — c) C’;          C = c (b — a) B’ + b (a — c) C’

a (b — a) (a — c) A = cb (a — d)² (c — b) A’ + ac (b — d)² (a — c) B’
+ ba (c — d)² (b — a) C’¹⁴

d (b — d) (d — c) D = cb (d — a)² (c — b) D’ + dc (b — a)² (d — c) B’
+ bd (c — a)² (b — d) C’

le equazioni dei due coni divengono:

AC — B² = 0,          BD — C² = 0

quindi le equazioni della cubica gobba passante pe’ sei punti dati sono:

A : B : C : D = ω³ : ω² : ω : 1.

26. Si considerino ora le cubiche gobbe passanti pe’ primi cinque punti dati e appoggiantisi ad una retta passante per uno di questi punti. Siano

A’ : B’ : C’ = α : β : γ

le equazioni di questa retta; tutte le anzidette cubiche saranno situate sul cono di second’ordine:

12)	${\frac {\alpha (\beta -\gamma )}{\mathrm {A} '}}+{\frac {\beta (\gamma -\alpha )}{\mathrm {B} '}}+{\frac {\gamma (\alpha -\beta )}{\mathrm {C} '}}=0$

e una qualunque di esse sarà l’intersezione di questo cono e di quest’altro:

13)	${\frac {(\beta -\gamma )}{\mathrm {D} '}}+{\frac {\beta (\gamma z-1)}{\mathrm {B} '}}+{\frac {\gamma (1-\beta z)}{\mathrm {C} '}}=0$

ove z varia da una cubica all’altra. Ciò premesso, passo a dimostrare il teorema: quattro cubiche gobbe situate su di uno stesso cono di second’ordine ed aventi cinque punti comuni incontrano una generatrice del cono in quattro punti, il rapporto anarmonico de’ quali è costante qualunque sia la generatrice. Una generatrice qualunque del cono 12) è rappresentata dalle equazioni:

14)	B’ — hC’ = 0,          hα (β — γ) C’ + (β (γ — α) + hγ (α — β)) A’ = 0