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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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quelli corrispondenti ad ω = 0 e ad ω = ∞, per cui nella (10) si dovra porre:

h + 1 = 0,          μ = kλ²,          μ’ = kλ’²

k indeterminata. La 10) diverrà:

2ω² — ω(1 + k)(λ + λ’) + 2kλλ’ = 0

e poichè i coefficienti di questa equazione devono essere invariabili, le λ, λ’, k saranno legate dalle relazioni:

(1 + k)(λ + λ’) = 2α,          kλλ’ = β

ove α, β sono costanti determinate. Quindi nelle equazioni 8) si potranno esprimere tutte le indeterminate in funzione di k che rimarrà solo parametro variabile dall’una all’altra cubica gobba. Ora osserviamo che un punto qualunque dell’iperboloide, considerato come l’intersezione delle generatrici:

A — xB = 0,          C — xD = 0;          A — yC = 0,          B — yD = 0

può rappresentarsi colle equazioni:

A : B : C : D = yx : y : x : 1.

Per avere i punti in cui la linea 8) incontra la generatrice:

A — yC = 0,          B — yD = 0

pongansi i valori precedenti nelle 8); si avrà:

(y — μ’)(x — λ)² — (y — μ)(x — λ’)² = 0

ossia:

11)	αkx2 — (y + β)(1 + k)x + αy = 0.

Siano x₀ ed x₁ i due valori di x dati da quest’equazione; sarà:

$x_{0}+x_{1}={\frac {(y+\beta )(1+k)}{\alpha k}},$          $x_{0}x_{1}={\frac {y}{k}}$

dunque, indicando con M, N quantità soddisfacenti alle:

y + β = My = N

avremo:

α(x₀ + x₁) — Mx₀x₁ — N = 0

ossia: le coppie di punti in cui la generatrice A — yC = 0, B — yD = 0 (che appartiene al secondo sistema) è segata dalle cubiche della famiglia 8), cioè da più