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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 57



due cubiche gobbe, l’una rappresentabile colle equazioni:

8)
A’C’ — B’2 = 0,          B’D’ — C’2 = 0


e l’altra colle:

9)
A’B’ — C’2 = 0,          C’D’ — B’2 = 0


oltre poi quella più volte considerata, che è rappresentata dalle 1) o dalle 2).

22. I due sistemi di generatrici dell’iperboloide AD — BC = 0 sono rappresentati dalle equazioni:

1.º sistema ... A — ωB = 0,          C — ωD = 0

2.º sistema ... A — θC = 0,          B — θD = 0.


Ora dalle formole di sostituzione risulta evidente che i piani A’ = 0, B’ = 0, C’ = 0, D’ = 0 passano rispettivamente per le generatrici del primo sistema:

A — λB = 0 ; A — λ’B = 0 ; A — λB = 0 ; A — λ’B = 0
C — λD = 0 C — λ’D = 0 C — λD = 0 C — λ’D = 0


e per le generatrici del secondo sistema:

A — μC = 0 ; A — μC = 0 ; A — μ’C = 0 ; A — μ’C = 0
B — μD = 0 B — μD = 0 B — μ’D = 0 B — μ’D = 0


dunque i due sistemi di generatrici dell’iperboloide saranno anco rappresentabili colle equazioni:

1.º sistema ... A’ — xB’ = 0,          C’ — xD’ = 0

2.º sistema ... A’ — yC’ = 0,          B’ — yD’ = 0.


Ne segue che fra le tre cubiche gobbe sopra menzionate la 1) e la 8) incontrano ciascuna generatrice del primo sistema in un solo punto e ciascuna generatrice dell’altro sistema in due punti; mentre la 9) incontra ciascuna generatrice del primo sistema in due punti e ciascuna del secondo in un solo punto. Cerchiamo in quanti punti si seghino le linee 1) ed 8), ed in quanti le 1), 9).

Per trovare i punti comuni alle linee 1), 8), nelle 8) pongasi

A : B : C : D = ω3 : ω2 : ω : 1;


avremo le:

bd2 — μ) (ω2 — μ’) (ω — λ)2 + c22 — μ)2 (ω — λ’)2 = 0

ac2 — μ) (ω2 — μ’) (ω — λ’)2 + b22 — μ’)2 (ω — λ)2 = 0