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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

Si ha:

c (x + y) = b — λa,          xy = — λ

quindi eliminando λ si ha la:

c (x + y) — axy = b

la quale esprime che i punti in cui la cubica gobba incontra le generatrici del sistema 6) sono in involuzione, cioè i piani passanti rispettivamente per essi, e per una stessa corda qualunque della cubica gobba formano un fascio in involuzione (32). Se si determinano i piani doppi di questo fascio, essi individueranno sulla cubica due punti, e le generatrici del sistema 6) passanti per essi saranno evidentemente tangenti alla cubica (23).

Reciprocamente: se sopra di una cubica gobba si ha un’involuzione di punti, le corde congiungenti i punti conjugati saranno generatrici d’uno stesso iperboloide (21). Infatti siano x, y i parametri di due punti conjugati; avremo, a causa dell’involuzione, un’equazione della forma:

α (x + y) + βxy + γ = 0

ove α, β γ sono costanti. Le equazioni della retta congiungente i punti di parametri x, y sono:

— B (x + y) + Cxy + A = 0,          — C (x + y) + Dxy + B = 0

dalle quali tre equazioni eliminando x + y ed xy si ha la:

${\begin{vmatrix}\mathrm {B} &\mathrm {C} &\mathrm {A} \\\mathrm {C} &\mathrm {D} &\mathrm {B} \\-\alpha &\beta &\gamma \end{vmatrix}}=0$

che è della forma 5), epperò rappresenta un iperboloide passante per la cubica gobba.

Combinando la proprietà espressa in questo paragrafo con quella del paragrafo 16, si ha il seguente enunciato: se per una retta che s’appoggi in un solo punto ad una cubica gobba si fanno passare quanti piani si vogliano, le coppie di punti in cui essi incontrano nuovamente la curva sono in involuzione.

19. Siano:

A = 0,          B = 0,          C = 0,          D = 0,          E = 0,          F = 0

le equazioni di sei piani; saranno:

A — λB = 0,          C — λD = 0,          E — λF = 0