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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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nello spazio, o per una retta che abbia un punto comune colla cubica, o per due rette corde della cubica, o per un punto dello spazio e per una corda della cubica medesima (16, 19, 20, 24).

L’equazione 5) può essere scritta così:

(cA — bB) (cD — aC) + (aB — cC) (cB — bC) = 0

da cui risulta che le generatrici rettilinee di un sistema si possono rappresentare colle equazioni:

6)	cA — bB + λ (aB — cC) = 0,          cB — bC — λ(cD — aC) = 0

e quelle dell’altro sistema colle equazioni:

7)	cA — bB + μ (cB — bC) = 0,          aB — cC — μ(cD — aC) = 0,

λ e μ indeterminate. Se nelle equazioni 6) si pone:

A : B : C : D = ω³ : ω² : ω : 1

si hanno le:

ω (cω² — bω + λ (aω — c)) = 0,          cω² — bω + λ (aω — c) = 0

le quali ammettono in comune due valori reali o imaginari di ω. Dunque ciascuna generatrice del sistema 6) incontra generalmente la cubica gobba in due punti. All’incontro le equazioni 7) per la stessa sostituzione danno le:

(cω — b) (ω + μ) = 0,          (aω — c) (ω + μ) = 0

ammettenti in comune un sol valore di ω. Dunque ciascuna generatrice del sistema 7) incontra la cubica gobba in un solo punto. Cioè: quando un iperboloide passa per una cubica gobba, questa incontra in due punti ciascuna generatrice di un sistema, ed in un solo punto ciascuna generatrice dell’altro sistema (14).

La condizione nccessaria e sufficiente perchè la quantità

cω² — bω + λ (aω — c)

sia un quadrato perfetto è un’equazione di secondo grado in λ; dunque vi sono in generate due generatrici del sistema 6) le quali sono tangenti alla cubica gobba (23).

18. Siano x, y i due valori di ω dati dall’equazione:

cω² — bω + λ (aω — c) = 0

cioè i parametri de’ due punti in cui la cubica gobba è incontrata dalla generatrice 6).