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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

trerebbe alcuna tangente oltre le due passanti pe’ termini della corda. Ne segue anche che due tangenti della cubica gobba non sono mai in uno stesso piano. — Date quattro rette tangenti alla cubica, vi sono al più due rette che le segano tutte e quattro.

16. Intorno alla retta fissa:

A — θB — h (B — θC) = 0,          B — θC — k (C — θD) = 0

che incontra la cubica gobba 2) nel solo punto di parametro θ, s’immagini ruotare un piano, l’equazione del quale in una posizione qualsivoglia sarà:

A — θB — (h + l) (B — θC) + kl (C — θD) = 0

ove l è indeterminata. Questo piano incontra la cubica gobba in due altri punti che hanno per parametri le radici dell’equazione quadratica:

ω² — (h + l) ω + kl = 0

e la retta che unisce questi due punti è rappresentata dalle equazioni:

A — (h + l) B + klC = 0,          B — (h + l) C + klD = 0

dalle quali eliminando l si ottiene la:

(A — hB) (C — kD) — (B — hC) (B — kC) = 0

che rappresenta un iperboloide ad una falda passante per la cubica gobba. Dunque: se intorno ad una retta appoggiata in un solo punto ad una cubica gobba si fa ruotare un piano, questo incontrando la linea in due altri punti, la corda che unisce questi due punti genera un iperboloide passante per la cubica (11).

17. Se si scrive l’equazione generale di una superficie del second’ordine e se ne determinano i coefficienti, almeno in parte, per modo che essa passi per la cubica gobba 2), si trova che l’equazione più generale di una superficie del second’ordine dotata di tale proprietà è:

5)	a (B2 — AC) + b (C2 — BD) + c (AD — BC) = 0

ove i rapporti a : b : c sono due arbitrarie indipendenti. Questa equazione rappresenta evidentemente una superficie rigata, ed in generale dotata di centro, epperò un iperboloide ad una falda (13). Ne segue che, per un iperboloide, il passare per una data cubica gobba equivale a sette condizioni, onde se un iperboloide ha sette punti comuni con una cubica gobba, questa giace interamente sulla superficie (15). Le due arbitrarie che entrano nell’equazione generale di un iperboloide, passante per una data cubica gobba, si potranno determinare in modo che la superficie passi per due punti dati