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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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Ora il punto 5 si consideri come variabile, e gli altri come fissi. Il luogo del punto 5 sarà quindi rappresentato da due qualunque delle equazioni superiori. Le prime quattro equazioni T₁ = 0, T₂ = 0, T₃ = 0, T₄ = 0 rappresentano quattro coni di second’ordine, aventi a due a due una generatrice comune, dunque il luogo del punto 5 è la cubica gobba determinata dai sei punti dati. Cioè: il luogo di un punto che con sei punti dati formi un ettagono gobbo tale che il piano di uno qualunque de’ suoi angoli e i piani de’ due angoli adiacenti incontrino i lati rispettivamente opposti in tre punti posti in un piano passante pel vertice del primo angolo, e la cubica gobba determinata dai sei punti dati. Questo teorema e il suo reciproco sono enunciati nell’Aperçu.

Ne deriva una regola per costruire per punti la cubica gobba di cui sono dati sei punti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pe’ punti 16 facciasi passare un piano qualunque 16x che segherà la cubica gobba in un punto x che si tratta di costruire. I piani 16x, 123, 456 incontrino le rette 34, 56, 12 rispettivamente ne’ punti a, b, c; i piani ab1, ac6 seghino i lati 45, 23 ne’ punti d, e; il punto comune ai piani d21, 5e6, 16x sarà il domandato.

15. Qualunque piano tangente alla cubica gobba 2) nel punto di parametro ω è rappresentato da un’equazione della forma:

A — 2ωB + ω²C — λ(B — 2ωC + ω²D) = 0

ove λ è un’indeterminata. Questo piano, oltre al toccare la linea nel punto ω, la sega nel punto di parametro λ. Sia data la retta:

lA + mB + nC = 0,          l’B + m’C + n’D = 0;

un piano qualunque passante per essa:

lA + mB + nC + k (l’B + m’C + n’D) = 0

sega la cubica gobba ne’ tre punti, i parametri de’ quali sono le radici della equazione:

lω³ + mω² + nω + k (l’ω² + m’ω + n’) = 0

epperò quel piano sara tangente alla linea, quando quest’ultima equazione abbia due radici eguali. Ora la condizione della eguaglianza di due radici di quell’equazione è un’equazione del quarto grado in k; dunque per una data retta qualsivoglia passano in generale quattro piani tangenti ad una data cubica gobba (38). Questa proprieta si può esprimere anche dicendo che una data retta qualunque incontra al più quattro rette tangenti di una stessa cubica gobba. Se la retta data si appoggia in un punto alla cubica gobba, essa incontrerà al più due rette tangenti, oltre quella che passa per quel punto¹³. Se la data retta fosse una corda della cubica gobba, essa non incon-