 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 49 |
un certo ordine, saranno:
e le diagonali dell’esagono formato da queste rette saranno:
| ωθ3 (ω — θ3) [θ2] z + (ω — θ) [θ2] [θ3] (x — ωθθ2y) = 0 ωθ1θ3 (ω — θ3) [θ1] z + (ω — θ) θ3 [θ1] [θ3] (x — ωθθ1y) = 0 ωθ1 (ω — θ2) (ω — θ1) z + (ω — θ) (ω — θ2) [θ1] x — ωθθ1 (ω — θ) (ω — θ1) [θ2] y = 0. |
+ [θ3] (ω — θ1) (ω — θ2) (θ1 — θ2) = 0
la quale è identica, qualunque sia ω. Dunque: un piano osculatore d’una cubica gobba è segato da tutti gli altri piani osculatori della medesima in rette, che sono tangenti di una sola conica. Nell’Aperçu trovasi enunciato questo teorema: il piano d’una conica tangente a sei piani dati inviluppa una superficie di 4.ª classe inscritta nella superficie sviluppabile del quarto ordine determinata dai sei piani12. Questa proposizione può risguardarsi come la reciproca della precedente. Ne consegue una regola per costruire i piani osculatori d’una cubica gobba, quando ne siano dati sei. Due de’ dati piani segheranno ciascuno gli altri cinque in cinque rette: avremo quindi due sistemi di cinque rette, ne’ quali una retta è comune. Sulla retta comune intersezione di altri due de’ piani dati si fissi un punto ad arbitrio, pel quale si conducano de’ piani passanti rispettivamente per le rette di ciascuno de’ due sistemi. Avremo così due sistemi di cinque piani, ne’ quali tre piani sono comuni. Si costruiscano i coni di secondo ordine inscritti in questi angoli pentaedri; questi coni avranno un quarto piano tangente comune: esso sarà osculatore della cubica gobba.
14. Dati sette punti nello spazio formanti un ettagono gobbo 12345671, cerchiamo la condizione perchè i piani de’ tre angoli consecutivi 321, 217, 176 incontrino i lati rispettivamente opposti 65, 54, 43 in tre punti posti in un piano passante pel vertice 1 dell’angolo intermedio. I punti 1, 4, 6, 2 determinano un tetraedro, le equazioni delle facce del quale siano:
alle quali quei punti siano ordinatamente opposti. Siano a : b : c : d, α : β : γ : δ, t : u : v: w
| Cremona, tomo I. | 4 |
