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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 47


Posto

A = x,          — θ3D = y,          θ3D — 3θ2C + 3θB — A = z


l’equazione d’un cono di second’ordine circoscritto al triedro formato dai tre pian x = y = z = 0 sarà

λyz + μzx + νxy = 0.


I tre piani osculatori in tre altri punti θ1, θ2, θ3 s’incontrano nel punto:

A : 3B : 3C : D = θ1θ2θ3 : θ2θ3 + θ3θ1 + θ1θ2 : θ1 + θ2 + θ3 : 1


e le equazioni della retta congiungente questo punto al vertice del triedro xyz saranno:

x : y : z = θ1θ2θ3 : — θ3 : (θ — θ1) (θ — θ2) (θ — θ3)


quindi la condizione perchè questa retta sia nel cono anzidetto sarà:


Così la condizione perchè il cono medesimo contenga anche la retta congiungente il punto xyz al punto comune a’ tre piani osculatori ne’ punti θ1 θ2 θ4 sarà:


dalle quali si ha:

λ : μ : ν = θ1θ2θ3θ4: θ4 : (θ — θ1) (θ — θ2) (θ — θ3) (θ — θ4)


quindi lo stesso cono contiene anco le rette congiungenti il punto xyz al punto comune ai piani osculatori ne’ punti θ1 θ3 θ4 ed al punto comune ai piani osculatori nei punti θ2 θ3 θ4. Ossia: gli spigoli del triedro formato da tre piani osculatori di una cubica gobba, e le rette congiungenti il vertice di questo triedro ai vertici del tetraedro formato da altri quattro piani osculatori sono generatrici di uno stesso cono di second’ordine.

Si dimostra facilmente anche il teorema reciproco e se ne deduce la seguente regola per costruire i piani osculatori d’una cubica gobba, quando ne siano dati sei. Due de’ piani dati si segano in una retta, sulla quale si fissi un punto ad arbitrio. Si unisca questo punto ai vertici del tetraedro formato dagli altri quattro piani dati; si costruisca il cono che passa per le quattro congiungenti e per la retta comune ai primi due piani. Questi due piani segheranno il cono in due altre rette, il piano delle quali sarà uno de’ piani richiesti.

12. Il cono determinate nel teorema del n.º 11 varia col variare il tetraedro θ1 θ2 θ3 θ4. Tenendo fissi i primi tre punti e variando il quarto, ottiensi una serie di coni circoscritti ad uno stesso angolo tetraedro. La quarta generatrice comune è la