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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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punto di parametro infinito, la sezione risulta composta della retta A = B = 0 e della cubica piana:

B = 0,          AD² + 4C³ = 0

per la quale il punto B = C = D = 0 (cioè il punto della cubica gobba di parametro infinito) è un cuspide, e il punto B = C = A = 0 (cioè il punto della cubica gobba di parametro zero) è un punto d’inflessione. Le tangenti alla cubica piana in questi punti sono B = D = 0, B = A = 0 rispettivamente. Da ultimo, se la superficie 3) vien segata dal piano A = 0 osculatore della cubica gobba nel punto di parametro zero, si ottiene la conica:

A = 0,          C² + 4 (BD — C²) = 0

che è tangente alla retta A = B = 0 nel punto della cubica gobba di parametro zero.

9. Pe’ tre punti della cubica gobba di parametri zero, infinito e θ passa il piano B — θC = 0. Questi punti determinano un triangolo, i lati del quale sono:

B — θC = 0          (C = 0,          A — θ²C = 0,           6D — C = 0).

Pongo:

C = x,          — A + θ²C = θ²y,          — θD + C = z,          B — θC = w;

l’equazione d’una conica inscritta nel triangolo suddetto, riferita alle tre rette

w = 0          (x = y = z = 0)

sarà:

$(lx)^{\frac {1}{2}}+(my)^{\frac {1}{2}}+(nz)^{\frac {1}{2}}=0.$

Il piano passante per altri tre punti θ₁, θ₂, θ₃ della cubica gobba sega il piano w = 0 nella retta:

(θ — θ₁) (θ — θ₂) (θ — θ₃) x — θ³y + θ₁θ₂θ₃ z = 0;

la condizione perchè questa retta tocchi la conica è:

${\frac {l}{(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{3})}}-{\frac {m}{\theta ^{3}}}+{\frac {n}{\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}}}=0.$

Assunto un altro punto θ₄, l’analoga condizione perchè la retta comune intersezione del piano θ₁ θ₂ θ₄ e del piano w = 0 sia tangente alla stessa conica sarà

${\frac {l}{(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})(\theta -\theta _{4})}}-{\frac {m}{\theta ^{3}}}+{\frac {n}{\theta _{1}\theta _{2}\theta _{4}}}=0.$

Da queste due equazioni si ha:

l : m : n = (θ — θ₁) (θ — θ₂) (θ — θ₃) (θ — θ₄) : θ⁴ : θ₁ θ₂ θ₃ θ₄.