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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

Dunque per un dato punto dello spazio si possono condurre ad una cubica gobba al più tre piani osculatori (40). Chiamando ω₁, ω₂, ω₃ le tre radici, supposte reali, della precedente equazione, il piano passante pe’ tre punti di contatto sarà rappresentato dalla:

A — (ω₁ + ω₂ + ω₃) B + (ω₂ω₃ + ω₃ω₁ + ω₁ω₂) C — ω₁ω₂ω₃ D = 0

ossia, per le note relazioni fra i coefficienti e le radici d’un’equazione:

dA — aD + 3 (bC — cB) = 0

equazione soddisfatta da:

A : B : C : D = a : b : c : d;

ossia: quando per un dato punto dello spazio si ponno condurre tre piani osculatori ad una cubica gobba, il piano de’ tre punti di contatto passa pel punto dato (41). Di qui emerge una semplice regola per costruire il piano osculatore in un dato punto ω, quando sian dati tre piani osculatori e i loro punti di contatto ω₁, ω₂, ω₃. Sia α il punto comune al piano ω ω₁ ω₂ ed ai piani osculatori in ω₁, ω₂; β il punto comune al piano ω ω₁ ω₃ ed ai piani osculatori in ω₁, ω₂; il piano αβω sarà il richiesto.

6. Troverò l’equazione della superficie conica che passa per la linea 2) ed ha il vertice in un punto qualunque dello spazio. Questo punto sia quello comune ai tre piani osculatori della cubica:

A = 0,          D = 0,          A — 3 θB + 3 θ²C — θ³D = 0

Le equazioni della retta passante per quel punto ed appoggiata alla linea 2) nel punto variabile ω sono:

ω² (B — θC) — (ω — θ) A = 0,          ω (ω — θ) D + θC — B = 0

da cui eliminando ω si ha per la superficie conica richiesta l’equazione:

(B — θC)³ — AD (A — 3 θB + 3 θ²C — θ³D) = 0

ovvero

(x + y + z)³ — 27 xyz = 0          o anche          $x^{\frac {1}{3}}+y^{\frac {1}{3}}+z^{\frac {1}{3}}=0$

ove si è posto:

A = x,          — θ³D = y,          θ³D — 3 θ²C + 3 θB — A = z.

Dunque il cono passante per una cubica e avente il vertice in un punto qualunque dello spazio è del terz’ordine e della quarta classe. Supposto che pel vertice del cono passino tre piani osculatori della cubica gobba, cioè che i piani x = 0, y = 0, z = 0