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9.
SULLE LINEE DEL TERZ’ORDINE A DOPPIA CURVATURA.
Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo I (1858), pp. 164-174, 278-295.
1. Le belle proprietà, finora note, delle linee del terz’ordine a doppia curvatura (che io chiamerò brevemente cubiche gobbe) trovansi tutte, per quanto io sappia, nella nota 33ª. dell’Aperçu historique del sig. Chasles, e in due altri lavori del medesimo geometra, l’uno inserito nei Comptes rendus dell’Accademia francese (1843) e l’altro nel giornale del sig. Liouville (novembre 1857). Tali proprietà vi sono pero semplicemente enunciate, ed io non so se alcuno le abbia ancor dimostrate. In questa memoria si propone un metodo analitico per lo studio di linee sì importanti: il qual metodo conduce a brevi dimostrazioni dei principali teoremi contenuti nell’ultima memoria del sig. Chasles, ed anche di alcuni altri non enunciati finora. Se però questo scritto fosse per destare qualche interesse dal lato geometrico, io me ne professerei interamente debitore allo studio delle memorie dell’illustre geometra francese.
2. Due coni di second’ordine abbiano una generatrice rettilinea comune. Siano B = 0, C = 0 le equazioni dei piani tangenti ai due coni lungo questa generatrice. Questi piani segheranno il secondo e il primo cono rispettivamente in altre due generatrici; i piani tangenti lungo le medesime siano A = 0, D = 0. Le equazioni dei due coni potranno quindi scriversi così:
| 1) |
BD — C2 = 0, AC — B2 = 0
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e la cubica gobba comune ai due coni potrà rappresentarsi colle equazioni:
| 2) |
A : B : C : D = ω3 : ω2 : ω : 1.
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Un valore particolare di ω si dirà parametro del punto da esso individuato sulla linea 2). I vertici dei due coni 1) sono punti della linea ed hanno per rispettivi parametri l’infinito e lo zero.
