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beiträge zur geometrie der lage.

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Il vantaggio che ricava l’autore da questa geometria imaginaria è quello di semplificare e generalizzare il linguaggio della scienza, abbracciare in un solo enunciato universale molti teoremi in apparenza eterogenei, e cancellare le eccezioni nascenti da quelle parti di una figura che possono essere reali o ideali. Ma lo scopo più importante della geometria imaginaria, quello di trasformare le proprietà di figure ideali in effettive proprietà di figure completamente reali (della qual mirabile trasformazione ha dato un bell’esempio il sig. Chasles deducendo le proprietà de’ coni di second’ordine da quelle di un cerchio ideale¹), tale scopo, io dico, forse non entrava nelle viste dell’autore.

Lo strumento di cui fa uso l’autore e la corrispondenza proiettiva delle figure. I paragrafi 19, 20, 21, 27, 28 contengono proprietà d’un sistema di quattro elementi reali o ideali d’una data forma elementare, il rapporto anarmonico de’ quali è la somma o il prodotto o una potenza o una radice di rapporti anarmonici d’altri sistemi. I paragrafi 15 e seg. versano sulle principali proprietà delle catene. Dicesi catena un sistema d’elementi appartenenti ad una stessa forma elementare, ciascun de’ quali insieme a tre elementi fissi della stessa forma costituisce un complesso di quattro elementi aventi il rapporto anarmonico reale. Due catene in una stessa forma differiscono fra loro pe’ tre elementi fissi. L’autore considera le catene contenute in una stessa forma o in due forme proiettive fra loro.

Il libro è interamente scritto nello stile moderno della pura geometria. Però l’autore indica al paragrafo 29 alcuni metodi analitici, opportuni per le ricerche nella geometria di posizione. Ecco in che consistono tali metodi:

1.º Siano A, B, C tre elementi individuati ed M un elemento qualsivoglia d’una stessa forma elementare; chiamasi ascissa dell’elemento M rispetto al sistema ABC il rapporto anarmonico del complesso ABCM. Ciascun valore particolare dell’ascissa x individua un elemento della forma proposta.

Se in una stessa forma si assumano due sistemi d’elementi fissi ABC, EFG e siano x, y le ascisse d’un medesimo elemento qualunque M rispetto a que’ due sistemi, si avranno per la trasformazione delle ascisse le formole

$y={\frac {f-g}{f-e}}\cdot {\frac {x-e}{x-g}},$     $x={\frac {b-c}{b-a}}\cdot {\frac {y-a}{y-c}}$

ove e, f, g sono le ascisse degli elementi E, F, G rispetto al sistema ABC, ed a, b, c sono le ascisse degli elementi A,B,C rispetto al sistema EFG.

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1. Chasles, Traité de Géométrie supérieure.