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| 36 | beiträge zur geometrie der lage. |
denza omografica e correlativa delle figure, potentissimo strumento che dà tutte le proprietà projettive, epperò non solo le descrittive, ma anche le metriche involgenti rapporti di segmenti rettilinei, di aree di figure piane e di volumi. Mi pare che queste proprietà possano ben entrare in un trattato della geometria di posizione.
Ma, fatta astrazione da questa soverchia esclusività, entro i limiti che l’autore si è prefissi, il suo lavoro ha molti pregi ed è fatto nello spirito della geometria moderna. — Egli chiama forma elementare un sistema d’elementi geometrici della stessa specie (punti, piani, rette), e considera le forme elementari di due ordini. Tre spettano al primo ordine, e sono: sistema di punti in linea retta — fascio piano di rette passanti per uno stesso punto — fascio di piani passanti per una stessa retta. Cinque forme appartengono al second’ordine: sistema di punti in una conica — fascio di rette tangenti ad una conica — fascio di rette generatrici di un cono di second’ordine — fascio di piani tangenti ad un cono di second’ordine — fascio di rette generatrici (d’uno stesso modo di generazione) di un’iperboloide ad una falda. I principj di omografia e di dualità permettono di estendere un teorema, che abbia luogo per una delle forme più semplici, alle forme più complesse. Ogniquavolta l’indole della quistione lo conceda, l’autore enuncia le proposizioni per modo che convengano non ad una sola forma, ma a parecchie o anco a tutte quelle d’uno stesso ordine. Per esempio: “quattro elementi della stessa specie, posti in uno stesso piano o passanti per uno stesso punto, tre qualunque de’ quali non appartengono ad una stessa forma elementare di primo ordine, individuano una forma elementare di second’ordine, a cui questi elementi appartengono e nella quale essi abbiano un dato rapporto anarmonico1„.
Collo stesso spirito di generalità, l’autore espone i principj della geometria imaginaria — ardita concezione, che si può dir sorta dalla scuola di Monge, e che, opportunamente applicata, è un potente mezzo d’invenzione. — Si chiamano ideali gli elementi doppi di una forma di prim’ordine in involuzione, la quale non abbia elementi doppi reali. L’autore considera due specie di rette ideali. Rette ideali di prima specie sono le rette doppie d’un fascio di rette di prim’ordine in involuzione. Rette ideali di seconda specie sono le rette doppie d’un sistema in involuzione di rette generatrici (d’uno stesso modo di generazione) d’un iperboloide. Due rette ideali di specie diverse differiscono in ciò, che l’una ha un punto reale e giace in un piano reale, mentre la retta ideale di seconda specie nè ha alcun punto reale, nè giace in alcun piano reale. L’autore parte da queste definizioni per istabilire le proprietà degli elementi ideali nelle forme reali, e le proprietà delle forme ideali contenute in sistemi reali
- ↑ L’espressione: rapporto anarmonico non si trova in questo libro, ma vi si fa uso di una locuzione equivalente che non involge il concetto di quantità.
