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| 474 | rivista bibliografica. |
cono una funzione omogenea di secondo grado a contenere i soli quadrati; e da ultimo si determinano le sostituzioni lineari che trasformano simultaneamente due date funzioni quadratiche in altre due prive de’ termini rettangoli.
La lezione decimanona tratta del problema generale della trasformazione delle coordinate tetraedriche, cioè delle coordinate, per le quali un punto o un piano è riferito ad un tetraedro fondamentale. Come caso particolare, se una faccia del tetraedro va a distanza infinita, si hanno le formole per passare da una ad un’altra terna di assi coordinati, siano essi rettangoli od obliqui.
Il tetraedro polare comune ad una data superficie di second’ordine qualsivoglia e ad un’arbitraria superficie sferica concentrica alla prima, ha una faccia all’infinito e le altre tre ortogonali fra loro; onde la ricerca di quel tetraedro conduce agli assi principali della superficie data. Questa ricerca, con l’analoga relativa alle coniche, è eseguita in due diverse maniere nelle tre lezioni seguenti. La seconda maniera è sopratutto notevole perchè somministra le coordinate ellittiche, ed è mirabile che l’autore deduca le formole differenziali per le coordinate ellittiche dalle equazioni in termini finiti fra le coordinate ordinarie, con semplice scambio di lettere. Il qual processo semplice e fecondo è compreso in un teorema assai generale, dato dal prof. Chelini a pag. 70 della sua interessante memoria Sull’uso simmetrico de’ principj relativi al metodo delle coordinate rettilinee1.
Interessantissima è pur la ventesimaterza lezione che ha per oggetto le linee geodetiche dell’ellissoide. Nella lezione successiva si considerano le curve focali di una data superficie di second’ordine, come quelle coniche che fanno parte del sistema di superficie confocali alla data; in seguito si dimostra che quelle curve sono anche il luogo de’ vertici de’ coni rotondi circoscritti alla superficie medesima.
Nella lezione ventesimasesta si stabiliscono le condizioni necessarie perchè una data equazione quadratica fra le coordinate rappresenti una superficie di rotazione. Tali condizioni, com’è noto, sono due: mentre, in generale, la condizione dell’eguaglianza di due radici in un’equazione algebrica è unica. Di qui un apparente paradosso, che l’autore scioglie mostrando, come aveva fatto Kummer, che il discriminante dell’equazione cubica relativa agli assi principali è la somma di sette quadrati.
La lezione seguente contiene la determinazione degli assi principali della sezione fatta da un piano in una superficie di second’ordine e la ricerca, in due modi diversi, delle sezioni circolari della superficie medesima. Finalmente, le ultime tre lezioni trattano de’ raggi di curvatura delle sezioni piane, normali ed oblique, delle superficie in generale e delle loro linee di curvatura.
- ↑ Raccolta scientifica, Roma 1849.
