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courbes gauches ecc.

20. Quand deux courbes C tracées sur un même hyperboloïde rencontrent chacune en m + 1 points une même génératrice, ces deux courbes se rencontrent en 2(m + 1) points. Et quand les deux courbes rencontrent l’une en m + 1 points et l’autre en un seul point une même génératrice, elles se rencontrent en m² + 2m + 2 points.

21. Par un point quelconque de l’espace on peut mener: 1.º ${\tfrac {m(m+1)}{2}}$ droites qui rencontrent la courbe C chacune en deux points; 2.º 3m plans osculateurs à la courbe C; 3.º 2m(m — 1) plans, dont chacun contient deuce droites tangentes à C.

22. Par une droite quelconque on peut mener 2(m + 1) plans tangent à la courbe C.

23. Un plan quelconque contient: 1.º 2(m² — 1) points dont chacun est l’intersection de deux tangentes de la courbe C; 2.º ${\tfrac {1}{2}}$(9m² — 17m + 10) droites dont chacune est l’intersection de deux plans osculateurs de la courbe C.

24. Il suit de ces théorèmes que:

La perspective de la courbe C est, en général, une courbe de l’ordre m + 2 et de la classe 2(m + 1), ayant ${\tfrac {m(m+1)}{2}}$ pointes doubles, 3m inflexions et 2m(m — 1) tangentes doubles.

Mais si l’œil est placé sur la courbe C, sa perspective est une courbe de l’ordre m + 1 et de la classe 2m, ayant un point multiple suivant m, 3(m — 1) inflexions, et 2(m — 1)(m — 2) tangentes doubles.

25. Les droites tangentes à la courbe C forment une développable S de l’ordre 2(m + 1) et de la classe 3m, avec 4(m — 1) génératrices d’inflexion.

26. Toute droite tangente en un point de la courbe C rencontre 2(m — 1) droites qui sont tangentes à la même courbe en d’autres points. Les points où se rencontrent deux a deux les tangentes (non consécutives) de C forment, sur la développable S, une courbe double K de l’ordre 2(m² — 1). Et les plans où se rencontrent ces mêmes tangentes, enveloppent une développable Σ, de la classe 2m(m — 1), qui est doublement tangente à la courbe C.

27. Les courbes C et K ont en commun: 1.º les 4(m — 1) points où C est touchée par les génératrices d’inflexion de S; 2.º les 2m(m — 1) points où C est coupée par les génératrices de l’hyperboloïde I qui sont tangentes à C (n. 18). Ces derniers points sont des points stationnaires pour la courbe K.

28. Il y a, sur la courbe K, ${\tfrac {4}{3}}$m(m — 1)(m — 2) points (doubles), où se coupent trois tangentes de C; et il y a${\tfrac {4}{3}}$(m — 1)(m — 2)(m — 3) plans (tangents doubles de Σ), dont chacun contient trois tangentes de C.

Etc., etc.