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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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retta col punto $\gamma$, tangenziale di $c_{0}$ (147); dunque la conica descritta per $pqrs$ ed $\alpha$ passerà anche per $\beta$.

Si noti poi che il quadrangolo completo $pqrs$ ha i suoi punti diagonali in $c_{1}c_{2}c_{3}$, cioè ne’ punti che hanno il tangenziale comune con $c_{0}$ (146, a). Ne segue che il triangolo $c_{1}c_{2}c_{3}$ è coniugato rispetto ad ogni conica circoscritta al quadrangolo $pqrs$.

Ma siccome $c_{1}c_{2}c_{3}$ sono anche i punti diagonali del quadrangolo $[00][11][22][33]$, così il triangolo $c_{1}c_{2}c_{3}$ è pur coniugato rispetto alla conica nella quale giacciono i sei punti $\alpha \beta [00][11][22][33]$. Dunque (108, e) questa conica passa anche per $pqrs$¹.

150. Se nel metodo generale (67, c) per costruire il punto opposto a quattro punti di una cubica ${\rm {C_{3}}}$ si suppone che questi, coincidendo per coppie, si riducano a due soli $a,b$, il punto opposto $\gamma$ sarà in linea retta coi tangenziali $\alpha ,\beta$ di $a,b$, cioè sarà il tangenziale della terza intersezione $c$ della cubica colla retta $ab$. Ogni retta condotta per $\gamma$ sega la cubica in altri due punti $mn$, pei quali passa una conica tangente in $a$ e $b$ alla cubica medesima; onde, se i punti $mn$ coincidono, la conica e la cubica avranno fra loro tre contatti bipunti. Pel punto $\gamma$ passano quattro rette tangenti a ${\rm {C_{3}}}$; uno de’ punti di contatto, $c$, è in linea retta con $ab$; gli altri tre siano $c_{1}c_{2}c_{3}$, e consideriamo la conica tangente in $abc_{1}$. I punti $cc_{1}$ sono poli coniugati rispetto ad una delle tre reti di coniche, l’Hessiana delle quali è la cubica data (146); e se $b_{1}$ è il polo coniugato a $b$ nella stessa rete, la retta $b_{1}c_{1}$ passerà per $a$, e le $bc_{1}$, $b_{1}c$ si tagleranno in $a_{1}$, polo coniugato ad $a$ rispetto alla medesima rete (134). Vale a dire, se la cubica è toccata in $abc_{1}$ da una curva di second’ordine, i poli $a_{1}b_{1}c$ coniugati ad $abc_{1}$ rispetto ad una delle tre reti sono in linea retta; donde segue che, rispetto alla rete medesima, quella curva di second’ordine è la poloconica della retta $a_{1}b_{1}c$ (137). Analogamente, se $a_{2}b_{2}$, $a_{3}b_{3}$ sono i punti corrispondenti ad $ab$ nelle altre due reti, le coniche tangenti in $abc_{2}$, $abc_{3}$ sono le poloconiche delle rette $a_{2}b_{2}c$, $a_{3}b_{3}c$ rispetto a queste reti.

Così le coniche tangenti ad una cubica in tre punti si distribuiscono in tre sistemi, relativi alle tre reti aventi per comune Hessiana la cubica data. I sei punti di contatto di due coniche d’uno stesso sistema giacciono in una conica segante; e viceversa, se pei tre punti di contatto d’una conica d’un certo sistema si descriva ad arbitrio una linea di second’ordine, questa sega la cubica in tre nuovi punti, ne’ quali questa curva è toccata da un’altra conica dello stesso sistema (137, a).

Se una poloconica dee passare per due punti dati $o,o'$, la retta a cui essa corrisponde sarà tangente alla conica polare di $o$ ed a quella di $o'$ (136, a). Ma due coniche

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1. Samuel Roberts, On the intersections of tangents drawn through two points on a curve of the third degree (Quarterly Journal of pure and applied Mathematics, vol. 3, London 1860, p. 121).⁹⁷