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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Ne segue che i rapporti anarmonici de’ due fasci $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$, $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$ sono eguali, ossia che i sei punti $[00]$, $[11]$, $[22]$, $[33]$, $\alpha$, $\beta$ giacciono in una stessa conica, come si è già dimostrato altrove (131, a).

Analogamente, concorrendo in $c_{1}$ le quattro rette $a_{0}b_{1}$, $a_{1}b_{0}$, $a_{2}b_{3}$, $a_{3}b_{2}$, i due fasci $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$, $\beta (b_{1},b_{0},b_{3},b_{2})$ avranno eguali rapporti anarmonici; ecc.

(d)	Come nel punto	$c_{0}$	concorrono le rette	$[01][10],[02][20],\dots$
così	„	$c_{1}$	„	$[00][11],[22][33],\dots$
	„	$c_{2}$	„	$[00][22],[33][11],\dots$
	„	$c_{3}$	„	$[00][33],[11][22],\dots$1.

Dunque i punti $[00],[11],[22],[33]$, ove si segano i raggi omologhi de’ due fasci projettivi $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$, $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$ formano un quadrangolo completo, i cui punti diagonali $c_{1},c_{2},c_{3}$ appartengono alla cubica e sono i punti di contatto di tre tangenti concorrenti in $\gamma$, terza intersezione della curva colla retta $\alpha \beta$.

Quando i punti $\alpha \beta$ coincidano, ritroviamo un teorema già dimostrato (146, a).

(e) I punti $\alpha ,\beta$ sono i centri di due fasci projettivi, ne’ quali alle rette $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ corrispondono $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$. Condotta per $\alpha$ una retta qualunque che seghi $\beta b_{0}$ nel punto $[x0]$; unito $[x0]$ con $c_{0}$ mediante una retta che seghi $\alpha a_{0}$ in $[0x]$; sarà $\beta [0x]$ la retta corrispondente ad $\alpha [x0]$². In questo modo si trova che alla retta $\alpha \beta$ corrisponde $\beta c_{0}$ od $\alpha c_{0}$, secondo che $\alpha \beta$ si consideri appartenente al fascio $\alpha$ o $\beta$. Dunque (59) $\alpha c_{0}$, $\beta c_{0}$ sono le tangenti in $\alpha$, $\beta$ alla conica generata dai due fasci projettivi; ossia (107) $c_{0}$ è il polo della retta $\alpha \beta$ rispetto alla conica $\alpha \beta [00][11][22][33]$.

Analogamente, i punti $c_{1},c_{2},c_{3}$ sono i poli della retta $\alpha \beta$ rispetto alle altre tre coniche passanti per $\alpha \beta$ e per le intersezioni delle tangenti che concorrono in $\alpha$ ed in $\beta$ (131, a). Ossia:

Le tangenti che si possono condurre ad una cubica da due suoi punti $\alpha ,\beta$ si segano in sedici punti $[xy]$ situati a quattro a quattro in quattro coniche passanti per $\alpha$ e $\beta$.

I poli della retta $\alpha \beta$ rispetto a queste coniche giacciono nella cubica, la quale è ivi toccata da quattro rette concorrenti in $\gamma$, terza intersezione della curva colla retta $\alpha \beta$.

I poli di $\alpha \beta$ rispetto a tre qualunque fra quelle coniche sono i punti diagonali del quadrangolo completo avente per vertici i quattro punti $[xy]$ situati nella quarta conica³.

(f) La conica polare di $c_{0}$, oltre al toccare la cubica in $c_{0}$, la seghi ne’ punti $pqrs$. Ogni conica passante per $pqrs$ incontra la cubica in due altri punti che sono in linea

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1. In ciascuno de’ punti $c$ concorrono sei rette analoghe a $[01][10]$.⁹⁵
2. {Perchè $c_{0}$ è il punto in cui concorrono le rette che uniscono le intersezioni delle coppie alterne di raggi, come $(\alpha a_{0},\beta b_{1})$, $(\alpha a_{1},\beta b_{0})$; $(\alpha a_{0},\beta b_{2})$, $(\alpha a_{2},\beta b_{0})$; ecc.⁹⁶}
3. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré, p. 276, — Higher plane curves, p. 134.