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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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E pel teorema (146, c) sono in linea retta anche le terne:

$a_{1}b_{2}c_{3}$,	$a_{2}b_{3}c_{1}$,	$a_{3}b_{1}c_{2}$,
$a_{1}b_{3}c_{2}$,	$a_{2}b_{1}c_{3}$,	$a_{3}b_{2}c_{1}$.

Queste sedici rette si possono aggruppare in otto sistemi di quattro rette ciascuno, le quali contengano tutt’i dodici punti di contatto¹.

(a) I punti $a_{1}b_{1}c_{1}$, che corrispondono ad $a_{0}b_{0}c_{0}$ rispetto ad una medesima rete, sono i vertici di un triangolo i cui lati passano ordinatamente per $a_{0},b_{0},c_{0}$, (134), e sono anche i punti di contatto della cubica colla poloconica della retta $a_{0}b_{0}c_{0}$, relativa a quella rete (137). Dunque (39) le rette che uniscono i punti $a_{1}b_{1}c_{1}$ ai vertici del triangolo formato dalle tre tangenti $\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{1}$ concorreranno in uno stesso punto⁹⁴².

È superfluo accennare che la stessa proprietà compete ai punti $a_{2}b_{2}c_{2}$, $a_{3}b_{3}c_{3}$ che sono i corrispondenti di $a_{0}b_{0}c_{0}$ rispetto alle altre due reti.

(b) Le rette $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$ s’incontrano sulla data curva in $c_{0}$, onde questa passa sì pei punti comuni ai due sistemi di tre rette $(\alpha a_{0},\beta b_{0},\gamma c_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$, sì pei punti comuni agli altri due analoghi sistemi $(\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$. Saravvi adunque (50, b) un luogo di terz’ordine soddisfacente alla duplice condizione di passare pei punti comuni ai due sistemi $(\alpha a_{0},\beta b_{0},\gamma c_{0})$, $(\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{0})$ e di contenere le intersezioni dei due sistemi $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$. Queste due condizioni sono appunto sodisfatte dal sistema di tre rette $(\alpha \beta ,[01][10],\gamma c_{0})$, ove $[01]$ indica il punto comune alle rette $\alpha a_{0},\beta b_{1}$, ed $[10]$ il punto ove si segano le $\alpha a_{1},\beta b_{0}$. D’altronde, qualunque luogo di terz’ordine appartenente al fascio determinato dai due sistemi $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$ non può essere altrimenti composto che della retta $\alpha \beta$ e di un pajo di rette coniugate nell’involuzione quadratica i cui raggi doppi sono $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$³. Dunque la retta $[01][10]$ passa pel punto $c_{0}$⁴ ed è coniugata armonica di $\gamma c_{0}$ rispetto alle $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$ (25, a).

(c) Per la stessa ragione, se $\alpha a_{0}$ incontra $\beta b_{2},\beta b_{3}$ in $[02],[03]$, e se $\beta b_{0}$ incontra $\alpha a_{2},\alpha a_{3}$ in $[20],[30]$, le rette $[02][20]$, $[03][30]$ passano per $c_{0}$. Laonde, rappresentato con $[00]$ il punto comune alle $\alpha a_{0},\beta b_{0}$, i due sistemi di quattro punti $[00,01,02,03]$, $[00,10,20,30]$ avranno eguali rapporti anarmonici, imperocchè essi risultano dal segare colle due trasversali $\alpha a_{0}$, $\beta b_{0}$ uno stesso fascio di quattro rette concorrenti in $c_{0}$.

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1. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung u. s. w. p. 153.⁹³
2. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 46.
3. Se le coniche d’un fascio hanno un punto doppio comune $c_{0}$, cioè se ciascuna di esse consta di due rette incrociate in $c_{0}$, tutte le analoghe coppie di rette formano evidentemente un’involuzione, i cui raggi doppi rappresentano le due linee del fascio per le quali $c_{0}$ è una cuspide (48).
4. {Poichè la retta $[01][10]$ passa per $c_{0}$, ne segue che l’esagono $\alpha a_{0}b_{0}\beta b_{1}a_{1}$ è inscritto in una conica (S. Roberts, Ed. Times, ottobre 1868).}