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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Art. XXIV.

La curva di terz’ordine considerata come Hessiana
di tre diverse reti di coniche.

146. Una data cubica qualsivoglia ${\rm {C_{3}}}$ può risguardarsi come Hessiana di tre altre cubiche ad essa sizigetiche (143). Ciascuna di queste tre curve dà origine ad una rete di coniche polari, epperò la cubica data sarà l’Hessiana di tre distinte reti di coniche. Rispetto a ciascuna di queste tre reti, la cubica data è il luogo delle coppie de’ poli coniugati (132, b); dunque in tre guise diverse i punti di una cubica possono essere coniugati a due a due, per modo che due punti coniugati abbiano lo stesso tangenziale, ossia nella cubica esistono tre sistemi di punti corrispondenti (133, a).

Ed invero, se $o$ è un punto della cubica data ed $u$ è il tangenziale di esso, da $u$ partono, oltre $uo$, altre tre tangenti (130, d); siano $o'o''o'''$ i punti di contatto. Abbiamo così le tre coppie di poli coniugati $oo',oo'',oo'''$, in relazione alle tre diverse reti che hanno per comune Hessiana la cubica data.

Applicando lo stesso discorso a ciascuno de’ punti $o'o''o'''$, come al punto $o$, si vede tosto che per la prima rete sono poli coniugati $oo'$ ed $o''o'''$; per la seconda $oo''$ ed $o'''o'$; per la terza $oo'''$ ed $o'o''$.

(a) Essendo $oo',o''o'''$ due coppie di poli coniugati relative ad una stessa rete, se le rette $oo'',o'o'''$ si segano in $y$ e le $oo''',o'o''$ in $z$, anche $yz$ sarà una coppia di poli coniugati relativi alla stessa rete (134).

I punti $o,o'',y$ sono in linea retta, epperò i loro tangenziali (che sono anche i tangenziali ordinatamente de’ punti $o',o''',z$) saranno allineati in una seconda retta (39, b). Ma i tangenziali di $o,o''$ coincidono in $u$; dunque il tangenziale comune di $y$ e $z$ sarà anche il tangenziale di $u$. Donde si raccoglie che:

Se $oo'o''o'''$ sono i punti ove una cubica è toccata dalle tangenti condotte da un suo punto $u$, i punti diagonali $xyz$ del quadrangolo $oo'o''o'''$ giacciono nella cubica, e le tangenti a questa in $uxyz$ concorrono in uno stesso punto della curva.

(b) Dal teorema (134) risulta che, se $aa',bb'$ sono due coppie di punti corrispondenti della cubica, affinchè questi siano relativi ad uno stesso sistema è necessario e sufficiente che il punto comune alle $ab,a'b'$ ed il punto comune alle $ab',a'b$ giacciano nella curva. Laonde, avuto riguardo alla proprietà (45, d), potremo concludere la seguente:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una cubica, i vertici opposti formano tre coppie di punti corrispondenti relative ad uno stesso sistema.