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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

1)	${\frac {1}{o\mu _{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{om_{1}}}-{\frac {1}{om_{2}}}\right)$,     ${\frac {1}{o\mu _{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{om_{2}}}-{\frac {1}{om_{1}}}\right),$

ossia dall’equazione quadratica:

2)	${\frac {1}{{\overline {o\mu }}^{2}}}-{\frac {1}{o\mu }}\left({\frac {1}{om_{1}}}+{\frac {1}{om_{2}}}\right)+{\frac {4}{om_{1}.om_{2}}}$$-{\frac {3}{4}}\left({\frac {1}{om_{1}}}+{\frac {1}{om_{2}}}\right)^{2}=0$.

Ma per le relazioni che hanno luogo fra i tre punti $a_{1}a_{2}a_{3}$ ed i loro centri armonici $m_{1}m_{2}$ (Art. III.), si ha:

${\frac {1}{om_{1}}}+{\frac {1}{om_{2}}}={\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{oa_{1}}}+{\frac {1}{oa_{2}}}+{\frac {1}{oa_{3}}}\right)$,

${\frac {1}{om_{1}.om_{2}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{oa_{2}.oa_{3}}}+{\frac {1}{oa_{3}.oa_{1}}}+{\frac {1}{oa_{1}.oa_{2}}}\right)$,

onde l’equazione 2) potrà scriversi così:

3)

$\left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa_{1}}}\right)\left({\frac {1}{o\mu }}+{\frac {1}{oa_{1}}}-{\frac {1}{oa_{2}}}-{\frac {1}{oa_{3}}}\right)$$+\left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa_{2}}}\right)\left({\frac {1}{o\mu }}+{\frac {1}{oa_{2}}}-{\frac {1}{oa_{3}}}-{\frac {1}{oa_{1}}}\right)$$+\left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa_{3}}}\right)\left({\frac {1}{o\mu }}+{\frac {1}{oa_{3}}}-{\frac {1}{oa_{1}}}-{\frac {1}{oa_{2}}}\right)=0$.

Facendo girare la trasversale intorno ad $o$, il luogo de’ punti $\mu _{1}\mu _{2}$ sarà una curva di second’ordine, che si può chiamare conica satellite del polo $o$¹.

Se i punti $a_{2}a_{3}$ coincidono, cioè se la trasversale tocca la cubica in $a_{2}$ e la sega in $a_{1}$, l’equazione 3) manifesta nel primo membro il fattore ${\tfrac {1}{o\mu }}-{\tfrac {1}{oa_{1}}}$. Dunque la conica satellite contiene i sei punti in cui la cubica fondamentale è segata dalle tangenti condotte pel polo.

Se i punti $m_{1}m_{2}$ coincidono, cioè se la trasversale tocca in $m_{1}$ la conica polare di $o$, le 1) mostrano che i punti $\mu _{1}\mu _{2}$ coincidono entrambi in $m_{1}$, vale a dire, in questo punto la trasversale tocca anche la conica satellite. Dunque la conica satellite tocca la conica polare ne’ punti in cui questa è incontrata dalla retta polare.

(a) Da quanto or si è detto e dal teorema (39, b) risulta che, se $o$ è un punto dell’Hessiana, cioè se la conica polare di $o$ è un pajo di rette concorrenti in $o'$, anche la conica satellite sarà un pajo di rette concorrenti in questo medesimo punto, e pro-

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1. Qual sarebbe l’analoga ricerca per una curva fondamentale di ordine $n$? Essa dovrebbe condurre ad una curva satellite dell’ordine $(n-1)(n-2)$. Veggasi: Salmon, Higher plane curves, p. 68-69.