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| 442 | introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
con il punto di contatto della colla Cayleyana, sarà un polo congiunto al punto .
Sia il terzo punto in cui l’Hessiana è segata dalla retta , e sia il polo coniugato a . Quella retta che passa per e forma con la conica polare di segherà nel punto .
Ora, la retta polare di rispetto alla conica polare di passa per , perchè questa conica è un pajo di rette incrociate in . Ma la retta polare di rispetto alla conica polare di coincide (130, b) colla retta polare di rispetto alla conica polare di , cioè rispetto al sistema ; dunque il polo ed i punti , in cui la retta taglia la conica e la retta polare anzidette, formano un sistema armonico (110, a); ossia:
La retta che unisce due poli coniugati è divisa armonicamente dal terzo punto ov’essa incontra l’Hessiana, e dal punto ove tocca la Cayleyana1.
136. L’inviluppo delle rette polari de’ punti di una data retta è una conica, che è anche il luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad (103), ed anche il luogo dei poli di rispetto alle coniche polari dei punti di medesima (125). Questa conica, che secondo la teoria generale (104) è la seconda polare (pura) di , si chiamerà, nel caso attuale, più brevemente poloconica (pura) della retta .
(a) La conica polare di un punto , oltre all’essere il luogo de’ punti le cui rette polari concorrono in , può anche definirsi l’inviluppo delle rette le cui poloconiche passano per (104, g).
(b) Le rette le cui poloconiche hanno un punto doppio son quelle che costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana (128), cioè sono le tangenti della Cayleyana.
Consideriamo adunque la retta (fig. 8.ª) e ricerchiamone la poloconica, come luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad . Siccome fa parte della conica polare di , così questo punto sarà doppio per la poloconica richiesta (128). Osservisi poi che la conica polare di ciascuno de’ punti ha due punti coincidenti comuni con ; dunque la poloconica di questa è il pajo di rette .
Vediamo così che l’Hessiana è il luogo de’ punti doppi delle poloconiche risolventisi in due rette, ed è anche l’inviluppo di queste rette; mentre la Cayleyana è inviluppata dalle rette a cui si riferiscono quelle poloconiche2.
(c) Il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale due rette siano coniugate, è una conica (la seconda polare mista di , giusta la teoria generale), la quale può chiamarsi la poloconica mista delle rette . Essa è anche il luogo dei
