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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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La retta polare di $o'$ rispetto alla cubica fondamentale coincide (69, b) colla polare di $o'$ rispetto alla conica formata dalle due rette $ad,\,bc$; dunque (132, c) la tangente in $o$ all’Hessiana è la retta $ou$, coniugata armonica di $oo'$ rispetto alle $ad,\,bc$: proprietà che poteva anche concludersi dal teorema (127, b). Analogamente la tangente all’Hessiana in $o'$ è $o'u$. Dunque:

Le tangenti all’Hessiana in due poli coniugati $o,o'$ concorrono nel punto di questa curva, che è polo coniugato alla terza intersezione della medesima colla retta $oo'$.

(a) Due punti di una cubica chiamansi corrispondenti, quando hanno lo stesso tangenziale (39, b), cioè quando le tangenti in essi incontrano la curva in uno stesso punto.

Usando di questa denominazione possiamo dire che due poli coniugati rispetto ad una rete di coniche sono punti corrispondenti dell’Hessiana di questa rete.

(b) Siccome le rette polari di $o,o'$ concorrono in $u$, così la conica polare di $u$ passerà per $o$ e per $o'$. Ma $u$ è un punto dell’Hessiana; dunque la sua conica polare consta della retta $oo'$ e di una seconda retta passante per $u'$. Ossia:

Una retta la quale unisca due poli coniugati $o,o'$, e seghi per conseguenza l’Hessiana in un terzo punto $u'$, fa parte della conica polare di quel punto $u$ che è polo coniugato ad $u'$.

Le rette che costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana inviluppano una curva di terza classe (128). Essa coincide adunque coll’inviluppo della retta che unisce due punti corrispondenti dell’Hessiana (132, a).

A questa curva daremo il nome di Cayleyana della cubica data, in onore dell’illustre Cayley, che ne trovò e dimostrò le più interessanti proprietà in una sua elegantissima Memoria analitica¹.

(c) Le tangenti che da un punto qualunque $o$ dell’Hessiana si possono condurre alla Cayleyana sono la retta che unisce $o$ al suo polo coniugato $o'$, e le due rette formanti la conica polare di $o'$.

(d) Se $abcd$ sono i quattro poli di una retta ${\rm {R}}$, le coppie di rette $(bc,ad)$, $(ca,bd)$, $(ab,cd)$ costituiscono tre coniche polari, i cui poli giacciono in ${\rm {R}}$; dunque i punti di concorso di quelle tre coppie di rette appartengono all’Hessiana. Ossia:

L’Hessiana è il luogo de’ punti diagonali, e la Cayleyana è l’inviluppo dei lati del quadrangolo completo i cui vertici siano i quattro poli di una retta qualunque.

134. Siano $aa',bb'$ due coppie di poli coniugati; $c$ il punto comune alle rette $ab,a'b'$; $c'$ quello ove si segano le $ab',a'b$. Allora $aa'bb'cc'$ saranno i sei vertici di un quadrilatero completo; e siccome i termini delle due diagonali $aa',bb'$ sono, per ipo-

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1. A Memoir on curves of the third order (Philosophical Transactions, vol. 147, part 2, London 1857, p. 415-446).