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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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genti alla cubica data, poichè questa è una curva della sesta classe. I sei punti di contatto giaccono tutti nella conica polare del punto $o$.

(d) Ma se $o$ è un punto della cubica, questa è ivi toccata sì dalla retta polare che dalla conica polare del punto medesimo. In questo caso, da $o$ partono sole quattro rette, tangenti alla cubica in altri punti. Ed i punti di contatto sono le quattro intersezioni di questa curva colla conica polare di $o$ (71).

131. Sia $o$ un punto della cubica, la quale intersechi la conica polare del medesimo (oltre al toccarla in $o$) in $abcd$: onde le rette $o(a,b,c,d)$ saranno tangenti alla cubica rispettivamente in $abcd$ (130, d).

Una tangente è incontrata dalla tangente infinitamente vicina nel suo punto di contatto (30); quindi, se $o'$ è il punto della cubica successivo ad $o$, le quattro rette $o'(a,b,c,d)$ saranno le quattro tangenti che si possono condurre da $o'$. Siccome poi la conica polare di $o$ tocca la cubica in $o$ e la sega in $abcd$, così i sei punti $oo'abcd$ giacciono tutti in essa conica, epperò i due fasci $o(a,b,c,d)$, $o'(a,b,c,d)$ hanno lo stesso rapporto anarmonico (62). Ciò significa che il rapporto anarmonico delle quattro tangenti condotte alla cubica da un suo punto $o$ non cambia passando al punto successivo; ossia:

Il rapporto anarmonico del fascio di quattro tangenti, che si possono condurre ad una cubica da un suo punto qualunque, è costante¹.⁹¹

(a) Di qui si ricava che, se $o(a,b,c,d)$, $o'(a',b',c',d')$ sono i due fasci di tangenti relativi a due punti qualisivogliano $o,\,o'$ della cubica, i quattro punti in cui le tangenti del primo fascio segano le corrispondenti del secondo giacciono in una conica passante per $oo'$ (62). La corrispondenza delle tangenti ne’ due fasci può essere stabilita in quattro maniere diverse, perchè il rapporto anarmonico del fascio $o(a,b,c,d)$ è identico (1) a quello di ciascuno de’tre fasci $o(b,a,d,c)$, $o(c,d,a,b)$, $o(d,c,b,a)$; dunque i sedici punti ne’ quali le quattro tangenti condotte per $o$ intersecano le quattro tangenti condotte per $o'$ giacciono in quattro coniche passanti per $oo'$.

(b) Il rapporto anarmonico costante delle quattro tangenti, che arrivano ad una cubica da un suo punto qualunque, può essere chiamato rapporto anarmonico della cubica.

Una cubica dicesi armonica quando il suo rapporto anarmonico è l’unità negativa, cioè quando le quattro tangenti condotte da un punto qualunque della curva formano un fascio armonico.

Una cubica si dirà equianarmonica quando il suo rapporto anarmonico sia una radice

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1. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré (Giornale di Crelle, t. 42, Berlino 1851, p. 274) — Higher plane curves, p. 151.