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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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sia una conica polare avente più di due punti comuni con ${\rm {R}}$, cioè una conica polare che si risolva in due rette, una delle quali sia ${\rm {R}}$.⁹⁰ Dunque:

Le rette cui spettano seconde polari (pure) dotate di punto doppio sono quelle che a due a due costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana. E i punti doppi delle seconde polari (pure) di quelle rette sono gli stessi punti dell’Hessiana.

La seconda polare (pura) di un punto qualunque $i$ sega l’Hessiana in $3(n-2)^{2}$ punti, poli di altrettante coniche polari passanti per $i$, ciascuna delle quali è il sistema di due rette. Dunque:

Le rette che costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana inviluppano una curva della classe $3(n-2)^{2}$.

129. La seconda polare mista di due rette ${\rm {RR'}}$ è il luogo di un punto, alla conica polare del quale condotte le tangenti dal punto ${\rm {RR'}}$, queste tangenti formino colle rette date un fascio armonico. Tali coniche polari costituiscono una serie d’indice $2(n-2)^{2}$, tanti essendo i punti in cui quella seconda polare mista è intersecata dalla seconda polare (pura) di un punto arbitrario; dunque fra quelle coniche ve ne sono $4(n-2)^{2}$ tangenti ad una retta qualsivoglia data (85).

Ora sia data una conica qualunque ${\rm {C}}$, e si domandi il luogo di un punto la cui conica polare sia inscritta in un triangolo coniugato a ${\rm {C}}$. Sia $a$ un punto arbitrario ed ${\rm {A}}$ la retta polare di $a$ rispetto a ${\rm {C}}$. Vi sono $4(n-2)^{2}$ coniche polari tangenti ad ${\rm {A}}$ e a due rette concorrenti in $a$ e coniugate rispetto a ${\rm {C}}$, ossia $4(n-2)^{2}$ coniche polari inscritte in triangoli coniugati a ${\rm {C}}$, un lato dei quali sia in ${\rm {A}}$. Ma le coniche polari tangenti ad ${\rm {A}}$ hanno i loro poli nella seconda polare pura di ${\rm {A}}$; dunque il luogo richiesto ha $4(n-2)^{2}$ punti comuni colla seconda polare pura di una retta arbitraria, vale a dire, è una curva dell’ordine $2(n-2)$.

Quando un triangolo coniugato alla conica ${\rm {C}}$ abbia un vertice $o$ sulla curva, due lati coincidono nella tangente ed il terzo è una retta arbitraria passante per $o$. Dunque, se il punto $o$ appartiene anche alla Steineriana, cioè se $o$ è il punto doppio della conica polare d’un punto $p$ dell’Hessiana, questa conica può risguardarsi come inscritta in quel triangolo. Per conseguenza:

Il luogo di un punto, la conica polare del quale sia inscritta in un triangolo coniugato ad una conica qualsivoglia data, è una linea dell’ordine $2(n-2)$, che sega l’Hessiana ne’ punti corrispondenti alle intersezioni della Steineriana colla conica data.

Questa linea d’ordine $2(n-2)$, quando la conica data degeneri in un pajo di rette, non è altro che la seconda polare mista delle rette medesime.

Così ad una conica qualunque corrisponde una determinata curva d’ordine $2(n-2)$. E pel teorema (111, f) è evidente che a più coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo corrispondono altrettante curve d’ordine $2(n-2)$ formanti un fascio.

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