Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/445


introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 431


(b) Nè questo importante risultato è proprio ed esclusivo alle curve seconde polari, ma appartiene ad una rete qualsivoglia. Data una rete geometrica di curve d’ordine , fra queste se ne assumano infinite formanti una serie d’indice 2; il loro inviluppo sarà una linea tangente a ciascuna curva inviluppata negli punti in cui questa sega l’inviluppata successiva. Ma per un punto arbitrario passano solamente due inviluppate: anzi queste coincidono, se il punto è preso nella linea-inviluppo. Donde segue che l’inviluppo non può incontrare un’inviluppata senza toccarla; e siccome queste due linee si toccano in punti, così l’inviluppo delle curve della serie proposta è una linea dell’ordine .

Tutte le curve di una rete, passanti per uno stesso punto, formano un fascio. Ora, i punti di contatto fra l’inviluppo ed un’inviluppata nascono dall’intersecarsi di questa coll’inviluppata successiva; dunque essi costituiranno la base d’un fascio di curve della rete. Ossia tutte le curve della rete, passanti per un punto ove l’inviluppo sia tangente ad una data inviluppata, passano anche per gli altri punti di contatto fra l’inviluppo e l’inviluppata medesima.

Per due punti in cui l’inviluppo sia toccato da due inviluppate differenti passa una sola curva della rete. Ond’è che una curva qualunque, la quale appartenga bensì alla rete ma non alla serie, intersecherà la linea-inviluppo in punti, ove questa è toccata da due curve della serie.

(c) Ritornando alla seconda polare della retta , gli punti di contatto fra questa curva e la seconda polare pura di un punto di compongono la base di un fascio di seconde polari miste, i cui poli sono ed un punto variabile in . Se due di quei punti di contatto coincidono in un solo, le curve del fascio avranno ivi la tangente comune, e per una di esse quel punto sarà doppio (47). Questo punto apparterrà dunque alla curva Hessiana della rete formata dalle seconde polari pure e miste dei punti di (123). Ossia in ciascuna delle intersezioni di quest’Hessiana colla seconda polare di , quest’ultima curva ha un contatto quadripunto con una seconda polare pura (il cui polo è in ), la quale tocca la medesima curva in altri punti distinti.

125. La seconda polare della retta può anche essere considerata come il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti in due fasci progettivi. Siano due punti fissi, ed un punto variabile in . La seconda polare mista di e la seconda polare mista di s’intersecano in punti che appartengono alla seconda polare di , perchè in essi ha luogo il contatto fra questa curva e la seconda polare pura di (124). Variando in , mentre rimangono fissi, quelle due seconde polari miste generano due fasci projettivi dell’ordine ; ed il luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti è appunto la seconda polare di .