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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

terrà soltanto altre $3(n-2)^{2}-3$ curve aventi un punto doppio; e ciò torna a dire che la retta ${\rm {P}}$ non ha che $3(n-2)^{2}-3$ punti comuni colla Steineriana, oltre ad $o$ . Questo punto equivale dunque a tre intersezioni della curva con ${\rm {P}}$ ; e lo stesso può ripetersi per ${\rm {P'}}$ , retta polare di $p'$ .

Per conseguenza: se una prima polare ha due punti doppi $p$ , $p'$ , il suo polo $o$ è un punto doppio della Steineriana, la quale è ivi toccata dalle rette polari di $p$ , $p'$ .

Ed avuto riguardo al numero de’ punti doppi della Steineriana (118, d), si conclude:

In una rete geometrica dell’ordine $n-1$ , vi sono ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)$ curve, ciascuna delle quali ha due punti doppi¹.

121. Imaginisi ora una prima polare dotata di una cuspide $p$ , e siane $o$ il polo. Una retta qualunque ${\rm {R}}$ condotta per $o$ determina un fascio di prime polari, una delle quali ha una cuspide in $p$ ; perciò il numero di quelle dotate di un punto doppio (88, b) sarà $3(n-2)^{2}-2$ . Dunque ${\rm {R}}$ incontra la Steineriana in due punti riuniti in $o$ .

Ma se si considera la retta ${\rm {P}}$ polare di $p$ , le curve prime polari dei suoi punti passano tutte per $p$ , e fra esse ve n’ha soltanto $3(n-2)^{2}-3$ , che siano dotate di un punto doppio (88, c). Cioè il punto $o$ rappresenta tre intersezioni della retta ${\rm {P}}$ colla Steineriana; ed è evidente che tale proprietà è esclusiva alla retta ${\rm {P}}$ .

Dunque: se una prima polare ha una cuspide $p$ , il suo polo $o$ è una cuspide della Steineriana, la quale ha ivi per tangente la retta polare di $p$ ².

Ed in causa del numero delle cuspidi della Steineriana (118, d):

In una rete geometrica dell’ordine $n-1$ , vi sono $12(n-2)(n-3)$ curve, ciascuna delle quali è dotata di una cuspide.

122. Una curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$ incontri l’Hessiana in $3m(n-2)$ punti; le rette polari di questi punti saranno tangenti sì all’ $(n-1)$ ^ma polare di ${\rm {C_{m}}}$ (103, e) che alla Steineriana (118, a). Sia $p$ uno di quei punti, ed $o$ quello in cui la Steineriana è toccata dalla retta polare di $p$ . La prima polare di $o$ ha un punto doppio in $p$ , onde ha ivi due punti coincidenti comuni con ${\rm {C_{m}}}$ ; dunque, siccome l’ $(n-1)$ ^ma polare di ${\rm {C_{m}}}$ è il luogo dei poli delle prime polari tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (103), così $o$ è un punto di questa $(n-1)$ ^ma polare. Ossia:

L’ $(n-1)$ ma polare di una data curva d’ordine $m$ tocca la Steineriana in $3m(n-2)$

↑ Steiner, l. c. p. 4-5.
↑ Steiner enunciò che la Steineriana (da lui chiamata Kerncurve) ha $12(n-2)(n-3)$ cuspidi (G. di Grelle, t. 47, p. 4). Poi Clebsch, avendo trovato lo stesso numero di polari cuspidate, sospettò che i poli di queste fossero le cuspidi della Steineriana, e dimostrò questa proprietà pel caso di $n=4$ (Ueber Curven vierter Ordnung, Giornale Crelle-Borchardt, t. 59, Berlino 1861, p. 131).

[1] Steiner, l. c. p. 4-5.

[2] Steiner enunciò che la Steineriana (da lui chiamata Kerncurve) ha $12(n-2)(n-3)$ cuspidi (G. di Grelle, t. 47, p. 4). Poi Clebsch, avendo trovato lo stesso numero di polari cuspidate, sospettò che i poli di queste fossero le cuspidi della Steineriana, e dimostrò questa proprietà pel caso di $n=4$ (Ueber Curven vierter Ordnung, Giornale Crelle-Borchardt, t. 59, Berlino 1861, p. 131).

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