Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/44

30

solution analytique de la question 344 (Mannheim}.

mais les points B, C, O étant en ligne droite, on a

${\begin{vmatrix}1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\\1&x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}=0,$

c’est-a-dire

${\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\\lambda h-\mu m&\lambda k-\mu n\end{vmatrix}}-\lambda \mu {\begin{vmatrix}k&h\\n&m\end{vmatrix}}=0,$

par conséquent,

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {ABO} }}+{\frac {1}{\mathrm {AOC} }}\right)={\frac {\begin{vmatrix}k&h\\n&m\end{vmatrix}}{{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}}}$

quantité indépendante de λ, μ. Donc, etc.

Théorème analogue dans l’espace.

Par un point O situé dans l’intérieur d’un angle trièdre de sommet A, on mène un plan qui coupe lès arêtes du trièdre dans les points B, C, D. Soient ν₁, ν₂, ν₃ le valeurs des trois pyramides AOCD, AODB, AOBC; je dis que la somme

${\sqrt {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}\nu _{3}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{2}}{\nu _{3}\nu _{1}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{3}}{\nu _{1}\nu _{2}}}}$

est constante, de quelque manière qu’on mène le plan sécant.

Soient x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, ..., x₅, y₅, z₅ les coordonnés des cinq ponts A, O, B, C, D; x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, sont des quantités données ainsi que les α, β, γ; on aura

${\frac {x_{3}-x_{1}}{\alpha _{1}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{\beta _{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{\gamma _{1}}}=\lambda ,$

${\frac {x_{4}-x_{1}}{\alpha _{2}}}={\frac {y_{4}-y_{1}}{\beta _{2}}}={\frac {z_{4}-z_{1}}{\gamma _{2}}}=\mu ,$

${\frac {x_{5}-x_{1}}{\alpha _{3}}}={\frac {y_{5}-y_{1}}{\beta _{3}}}={\frac {z_{5}-z_{1}}{\gamma _{3}}}=\nu ,$