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424 | introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
alcuna delle tangenti che da ponno condursi a : ovvero con altre parole, la retta passi per alcuno de’ punti in cui la retta polare di taglia la curva polare reciproca di rispetto alla conica polare di (110).
La curva richiesta passa volte per , giacchè se il punto cade in , sonvi rette sodisfacenti all’anzidetta condizione: quelle cioè che da vanno agli punti in cui la retta polare di taglia la polare reciproca di (relativa alla conica polare di ).
Sia un punto di ; la retta polare di sarà la tangente alla curva fondamentale nel punto medesimo. Laonde se questa retta tocca anche , sarà un punto della polare reciproca di (relativa alla conica polare di ); e siccome, qualunque sia , la retta passa per , punto comune alla detta polare reciproca ed alla retta polare di , così questo punto apparterrà al luogo richiesto. Ond’è che questo luogo contiene gli punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti comuni a .
Se invece appartiene a e è tangente a questa curva in , la stessa retta è la polare di ; ma essa incontra in punti la polare reciproca di , dunque è un punto multiplo secondo per la curva richiesta. Questa ha pertanto punti pli, e son quelli ove è toccata da tangenti che concorrono in .
Sia un punto dell’Hessiana, il corrispondente punto della Steineriana. Se è tangente alla data curva , essa sarà coniugata alla retta rispetto alla conica polare di ; infatti, sì quella tangente che le polari dei punti , , relative a questa conica, concorrono nel punto . Donde s’inferisce che è un punto del luogo che si considera; vale a dire, questo luogo passa pei punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali toccano .
Siano ancora , punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana; ma passi per . Allora, siccome la conica polare di è un pajo di rette incrociate in , così la polare reciproca di rispetto a tale conica sarà (110, a) un fascio di rette concorrenti in . Ond’è che il punto rappresenta intersezioni sì della retta che della retta polare di colla polare reciproca di , e per conseguenza tien luogo di punti consecutivi comuni alla curva richiesta ed all’Hessiana. Dunque il luogo geometrico, del quale si tratta, ha un contatto punto89 coll’Hessiana in ciascuno dei punti le cui indicatrici passano per .
Passiamo da ultimo a determinare l’ordine della curva in questione. Sia una retta arbitraria condotta per , e un punto in . La retta polare di incontri in , e la polare reciproca di (rispetto alla conica polare di ) seghi in punti . Se si assume ad arbitrio , vi corrispondono posizioni di (le intersezioni di colla prima polare di ) e quindi posizioni di . Se invece si assume ad arbitrio , come incontro di colla polare reciproca di rispetto alla conica polare