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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

il punto $a$ come intersezione di ${\rm {R}}$ con una retta polare, gli corrispondono $n-1$ posizioni del polo $p$ (i punti comuni ad ${\rm {R}}$ e alla prima polare di $a$ ), e quindi altrettanti punti $b$ . Se invece si assume ad arbitrio $b$ , come incontro di ${\rm {R}}$ colla retta polare di $i$ rispetto ad una conica polare indeterminata, il polo $p$ di questa è nella prima polare di $i$ relativa alla prima polare di $b$ (69, d), cioè in una curva d’ordine $n-2$ , le intersezioni della quale con ${\rm {R}}$ sono le posizioni di $p$ corrispondenti al dato punto $b$ ; ond’è che a questo punto corrisponderanno $n-2$ punti $a$ ¹. Dunque il numero de’ punti $p$ in ${\rm {R}}$ , pei quali $a$ e $b$ coincidono, è $(n-1)+(n-2)$ ; e siccome anche $j$ è un punto della curva cercata, così questa è dell’ordine $(n-1)+(n-2)+1$ $=2(n-1)$ . La designeremo con ${\rm {L^{ij}}}$ , perchè, ove $j$ coincida con $i$ , essa rientra nella curva ${\rm {L^{ii}}}$ , già considerata (113)².

Sia $p$ il punto di contatto della curva fondamentale con una tangente uscita da $i$ ; la retta polare di $p$ è $pi$ , tangente in $p$ alla conica polare dello stesso punto $p$ , onde, qualunque sia $j$ , la retta $pj$ passa pel polo di $pi$ . Dunque $p$ è un punto di ${\rm {L^{ij}}}$ , cioè questa linea passa per gli $n(n-1)$ punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti che le arrivano da $i$ ; e per la stessa ragione passerà anche per gli $n(n-1)$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da rette condotte per $j$ .

Cerchiamo in quanti e quali punti la curva ${\rm {L^{ij}}}$ incontri la prima polare di $i$ relativa alla prima polare di $j$ , la quale chiameremo per brevità seconda polare mista de’ punti $ij$ . Se questa seconda polare mista passa per $p$ , viceversa (69, d) la retta polare di $i$ rispetto alla conica polare di $p$ passa per $j$ , ossia i punti $i$ , $j$ sono poli coniugati (108) relativamente alla conica polare di $p$ . In tal caso, affinchè le rette $pi$ , $pj$ siano polari coniugate rispetto alla medesima conica, basta evidentemente che la retta polare di $p$ passi per $i$ o per $j$ ; epperò $p$ dovrà trovarsi o nella prima polare di $i$ o in quella di $j$ . Dunque la curva ${\rm {L^{ij}}}$ passa pei punti in cui la seconda polare mista de’ punti $ij$ è segata dalle prime polari de’ punti medesimi.

↑ Variando il punto $a$ nella retta ${\rm {R}}$ , la prima polare di $a$ genera un fascio (77), le curve del quale determinano in ${\rm {R}}$ un’involuzione del grado $n-1$ . Ma ad ogni punto $p$ corrisponde un punto $b$ ; dunque, col variare di $a$ , il gruppo de’ corrispondenti $n-1$ punti $b$ genera un’involuzione del grado $n-1$ .⁸⁸ Anche la prima polare di $b$ , rispetto alla prima polare del punto fisso $i$ , quando $b$ corra sopra ${\rm {R}}$ , dà luogo ad un fascio; epperò, col variare di $b$ , il gruppo de’ corrispondenti $n-2$ punti $a$ genera un’involuzione del grado $n-2$ . Dunque, variando simultaneamente i punti $a$ , $b$ producono due involuzioni projettive, l’una del grado $n-2$ , l’altra del grado $n-1$ . I $2n-3$ punti comuni a queste involuzioni (24, b), insieme con $j$ , sono quelli in cui ${\rm {R}}$ incontra il richiesto luogo geometrico.
↑ { ${\rm {L^{ij}}}$ sega la retta $ij$ nei $2(n-2)$ punti le cui coniche polari toccano quella retta: punti che appartengono anche alle curve ${\rm {L^{ii}}}$ , ${\rm {L^{jj}}}$ .}

[1] Variando il punto $a$ nella retta ${\rm {R}}$ , la prima polare di $a$ genera un fascio (77), le curve del quale determinano in ${\rm {R}}$ un’involuzione del grado $n-1$ . Ma ad ogni punto $p$ corrisponde un punto $b$ ; dunque, col variare di $a$ , il gruppo de’ corrispondenti $n-1$ punti $b$ genera un’involuzione del grado $n-1$ .⁸⁸ Anche la prima polare di $b$ , rispetto alla prima polare del punto fisso $i$ , quando $b$ corra sopra ${\rm {R}}$ , dà luogo ad un fascio; epperò, col variare di $b$ , il gruppo de’ corrispondenti $n-2$ punti $a$ genera un’involuzione del grado $n-2$ . Dunque, variando simultaneamente i punti $a$ , $b$ producono due involuzioni projettive, l’una del grado $n-2$ , l’altra del grado $n-1$ . I $2n-3$ punti comuni a queste involuzioni (24, b), insieme con $j$ , sono quelli in cui ${\rm {R}}$ incontra il richiesto luogo geometrico.

[2] { ${\rm {L^{ij}}}$ sega la retta $ij$ nei $2(n-2)$ punti le cui coniche polari toccano quella retta: punti che appartengono anche alle curve ${\rm {L^{ii}}}$ , ${\rm {L^{jj}}}$ .}

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