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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Considerando una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti $p$; dunque la linea ${\rm {L^{ii}}}$ tocca ${\rm {C_{n}}}$ negli $n(n-1)$ punti di contatto delle tangenti condotte a questa dal punto $i$.

Quando il polo $o$ (112) prende il posto del punto $i$, le $(n-1)(n-2)$ intersezioni della prima colla seconda polare di $i$ sono altrettante posizioni del punto $p$. Viceversa, se $p$ è nella seconda polare di $i$, la conica polare di $p$ passa per $i$; ma $i$ dee giacere in una tangente condotta da $p$ alla conica polare di quest’ultimo punto, dunque anche la retta polare di $p$ passerà per $i$, e conseguentemente $p$ giacerà nella prima polare di $i$. Quegli $(n-1)(n-2)$ punti sono pertanto i soli che la curva ${\rm {L^{ii}}}$ abbia comuni colla seconda polare di $i$; ond’è che in tutti quei punti le due curve si toccano. Concludiamo adunque che la curva ${\rm {L^{ii}}}$ tocca la curva fondamentale e la seconda polare del punto $i$ ovunque le incontra, e gli $n(n-1)+(n-1)(n-2)$ punti di contatto giacciono tutti nella prima polare di $i$.

Siccome la prima polare di $i$ presa due volte può considerarsi come una linea dell’ordine $2(n-1)$, e siccome la curva fondamentale e la seconda polare di $i$ costituiscono insieme un’altra linea dello stesso ordine; così (41) per i $2(n-1)^{2}$ punti ne’ quali la prima polare di $i$ sega ${\rm {C_{n}}}$ e la seconda polare, si può far passare un fascio di curve dell’ordine $2(n-1)$, ciascuna delle quali tocchi la curva fondamentale e la seconda polare di $i$ in tutti quei punti. Fra le infinite curve di questo fascio, quella che passa per $i$ è ${\rm {L^{ii}}}$.

114. Di qual classe è l’inviluppo delle indicatrici dei punti di una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$? Ossia, quanti punti di questa curva hanno un’indicatrice passante per un punto $i$ fissato ad arbitrio? Il luogo di un punto $p$, un’indicatrice del quale passi per $i$, è (113) una curva dell’ordine $2(n-1)$, che segherà ${\rm {C_{m}}}$ in $2m(n-1)$ punti; dunque in $i$ concorrono $2m(n-1)$ tangenti dell’inviluppo richiesto.

Si noti poi che quest’inviluppo tocca la curva fondamentale ovunque essa è incontrata da ${\rm {C_{m}}}$; e ciò perchè ciascuna di queste intersezioni ha le sue indicatrici confuse insieme nella relativa tangente di ${\rm {C_{n}}}$. Dunque:

Le indicatrici dei punti di una linea d’ordine $m$ inviluppano una linea della classe $2m(n-1)$, che tocca la curva fondamentale ne’ punti ove questa è incontrata dalla linea d’ordine $m$.

(a) Di qui per $m=1$ si ricava che le indicatrici dei punti di una retta data inviluppano una curva della classe $2(n-1)$, la quale tocca in $2(n-2)$ punti la retta medesima, perchè questa è indicatrice di $2(n-2)$ suoi punti (112, b)¹.

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1. {Quella curva è dell'ordine $8n-14$, e contiene, oltre ai $2(n-2)$ punti suddetti, anche le $3(n-2)+n$ intersezioni della retta data colla Hessiana e colla curva fondamentale.}