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| 418 | introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
Quale è l’inviluppo di una retta che seghi le coniche date in quattro punti armonici? Quante rette dotate di tale proprietà passano per un punto qualunque, ex. gr. per uno de’ punti comuni alle coniche date? Affinchè una retta condotta per seghi , in quattro punti armonici, tre di questi dovranno coincidere in , cioè le sole tangenti che per si possano condurre all’inviluppo richiesto sono le due rette che ivi toccano l’una o l’altra conica. Dunque l’inviluppo è una conica tangente alle otto rette che toccano in le curve date.
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Quale è il luogo di un punto dal quale si possa condurre un fascio armonico di tangenti alle coniche date? Quanti punti dotati di questa proprietà esistono in una retta qualunque, ex. gr. in una delle tangenti comuni alle coniche date? È evidente che le sole intersezioni della retta col luogo di cui si tratta sono i punti in cui la retta medesima tocca l’una o l’altra conica data. Il luogo richiesto è dunque una conica passante per gli otto punti in cui le curve date sono toccate dalle loro tangenti comuni.
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Di queste otto rette, le quattro che toccano sono anche tangenti (111) alla conica , polare reciproca di rispetto a ; ossia le coniche , , sono inscritte nello stesso quadrilatero. Dunque, se una tangente di , non comune a , sega armonicamente , , le coniche , coincidono. Ciò accade quando è circoscritta ad un triangolo coniugato a (d).
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Di questi otto punti, i quattro situati in appartengono anche alla conica , polare reciproca di rispetto a ; vale a dire, le coniche , , appartengono ad uno stesso fascio. Dunque, se un punto di , non comune a , è centro d’un fascio armonico di rette tangenti a , , le coniche , si confondono in una sola. Ciò accade quando è inscritta in un triangolo coniugato a (d).
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Se è una conica rispetto alla quale , siano polari reciproche, evidentemente le coniche , (come pure , ) sono polari reciproche rispetto a .
(f) Siano , , tre coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo , e le prime due siano separatamente circoscritte a due triangoli coniugati ad una medesima conica . Le coniche , , , polari reciproche di quelle prime tre rispetto a , saranno tutte toccate dalle rette , polari de’ punti rispetto a (b). Dunque (d) la retta sega armonicamente sì le due coniche , , che le due , ; cioè le intersezioni di con sono i punti doppi dell’involuzione (quadratica) che le coniche del fascio determinano sopra . Di qui si trae che taglia armonicamente anche , , ossia (e):
Se in due coniche sono separatamente inscritti due triangoli coniugati ad una conica data, qualunque altra conica descritta pei punti comuni alle prime due sarà pur circoscritta ad un triangolo coniugato alla conica data.87
