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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Se due triangoli sono circoscritti ad una conica, essi sono inscritti in un’altra; e viceversa.

Affinchè due triangoli siano coniugati ad una stessa conica, è necessario e sufficiente che essi siano circoscritti ad un’altra conica, ovvero inscritti in una terza conica.

Questa proprietà si può esprimere eziandio dicendo che la conica tangente a cinque de’ sei lati di due triangoli coniugati ad una conica data tocca anche il sesto; e la conica determinata da cinque vertici passa anche pel sesto. Donde s’inferisce che:

Se una conica tocca i lati di un triangolo coniugato ad una seconda conica, infiniti altri triangoli coniugati a questa saranno circoscritti alla prima; cioè le tangenti condotte alle due coniche dal polo (relativo alla seconda) di ciascuna retta tangente alla prima formeranno un fascio armonico.

Se una conica passa pei vertici di un triangolo coniugato ad un’altra conica, sarà pur circoscritta ad infiniti altri triangoli coniugati alla medesima; cioè ogni punto della prima conica sarà, rispetto alla seconda, il polo di una retta segante le due curve in quattro punti armonici.

109. Le coniche circoscritte ad un quadrangolo $abcd$ sono segate da una trasversale arbitraria in coppie di punti che formano un’involuzione (49). Fra quelle coniche vi sono tre paja di rette; dunque le coppie di lati opposti $(bc,ad)$, $(ca,bd)$, $(ab,cd)$ del quadrangolo incontrano la trasversale in sei punti $a'a_{1}$, $b'b_{1}$, $c'c_{1}$ accoppiati involutoriamente.⁸⁶ Viceversa, se i lati di un triangolo $abc$ sono segati da una trasversale ne’ punti $a'b'c'$, e se questi sono accoppiati in involuzione coi punti $a_{1}b_{1}c_{1}$ della stessa trasversale, le tre rette $aa_{1}$, $bb_{1}$, $cc_{1}$ concorreranno in uno stesso punto $d$.

Sia or dato un triangolo $abc$, i cui lati $bc$, $ca$, $ab$ seghino una trasversale in $a',\,b',c'$; e sia inoltre data una conica, rispetto alla quale i punti $a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ situati nella stessa trasversale siano poli coniugati ordinatamente ad $a',\,b',\,c'$. Le tre coppie di punti $a'a_{1}$, $b'b_{1}$, $c'c_{1}$ sono in involuzione (108), epperò le rette $aa_{1}$, $bb_{1}$, $cc_{1}$ passano per uno stesso punto $d$. Se di più si suppone che $a$, $b$ siano poli ordinatamente coniugati ad $a'$, $b'$, le polari di $a'$, $b'$ sono le rette $aa_{1}$, $bb_{1}$, talchè il polo della trasversale sarà il punto $d$. Dunque la polare di $c'$ è $cc_{1}$, ossia anche i punti $c$, $c'$ sono poli coniugati. Abbiamo così il teorema:

Se i termini di due diagonali $aa'$, $bb'$ d’un quadrilatero completo formano due coppie di poli coniugati rispetto ad una data conica, anche i termini della terza diagonale $cc'$ sono coniugati rispetto alla medesima conica¹.

110. Se un polo percorre una data curva ${\rm {C_{m}}}$ dell’ordine $m$, avente $\delta$ punti doppi

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1. Hesse, De octo punctis intersectionis trium superficierum secundi ordinis (Dissertatio pro venia legendi), Regiomonti 1840, p. 17.