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| introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. | 413 |
| un’involuzione (quadratica), i cui punti doppi sono le intersezioni della conica colla trasversale; cioè i punti della conica fondamentale sono coniugati a sè medesimi. | stesso punto dato formano un’involuzione (quadratica), i raggi doppi della quale sono le tangenti che dal punto dato si possono condurre alla conica; cioè le tangenti di questa sono rette coniugate a sè medesime. |
(a) Due poli coniugati ed il polo della retta che li unisce (ovvero due rette coniugate e la polare del punto ad esse comune) individuano un triangolo (o un trilatero), nel quale ciascun lato è la polare del vertice opposto. Siffatto triangolo o trilatero dicesi coniugato alla conica data.
(b) Se da un punto si conducono due trasversali a segare la conica data ne’ quattro punti , e se sono le intersezioni delle coppie di rette , la retta sarà la polare del punto ; anzi nel triangolo ciascun vertice è polo del lato opposto. Ciò è una immediata conseguenza della proprietà armonica del quadrangolo completo (5). Dunque tutte le coniche circoscritte a questo quadrangolo sono coniugate al triangolo formato dai punti diagonali .
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(b') Se per due punti di una data retta si tirano quattro tangenti alla conica data, e se sono le rette passanti per le coppie di punti , il punto sarà il polo della retta ; anzi nel trilatero ciascun lato è la polare del vertice opposto, come segue immediatamente dalla proprietà armonica del quadrilatero completo (5). Dunque tutte le coniche inscritte nel quadrilatero sono coniugate al trilatero formato dalle diagonali .
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(c) In generale (89), se un punto ha la stessa retta polare rispetto a due curve d’un fascio, esso è doppio per una curva del fascio medesimo. Ciò torna a dire che due coniche non ammettono alcun triangolo coniugato comune, oltre quello che ha i vertici ne’ tre punti doppi del fascio da esse determinato; ossia i punti diagonali del quadrangolo completo formato dai punti comuni a due coniche, e le rette diagonali del quadrilatero completo formato dalle tangenti comuni alle stesse coniche sono i vertici e i lati dell’unico triangolo coniugato ad entrambe le curve.
(d) Il teorema di Pascal relativo ad un esagono inscritto in una conica (45, c), se si assume il secondo vertice infinitamente vicino al primo, ed il quinto al quarto, somministra la seguente relazione fra quattro punti di una conica e le tangenti in due di essi:
Se un quadrangolo è inscritto in una conica, le tangenti in due vertici concorrono sulla retta che unisce due punti diagonali.
Donde si conclude facilmente che le diagonali del quadrilatero formato da quattro tangenti di una conica sono i lati del triangolo avente per vertici i punti diagonali del quadrangolo formato dai quattro punti di contatto.
