Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/426

412

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Art. XVIII.

Applicazione alle curve di second’ordine.

107. Se ne’ teoremi generali suesposti si fa $n=2$, si ottengono i più interessanti risultati per la teoria delle coniche.

Dato un polo $o$ nel piano della curva fondamentale ${\rm {C_{2}}}$ di second’ordine, il luogo del punto coniugato armonico di $o$, rispetto alle due intersezioni della curva con una trasversale mobile intorno ad $o$, è la retta polare di $o$ (68). Se la polare di $o$ passa per un altro punto $o'$, viceversa (69, a) la polare di $o'$ contiene $o$; ossia tutte le rette passanti per un punto dato hanno i loro poli nella retta polare di questo punto, e reciprocamente tutt’i punti di una data retta sono poli di rette incrociantisi nel polo della data.

Siccome ogni punto ha una determinata retta polare, e viceversa ogni retta ha un polo unico, così i punti di una retta costituiscono una punteggiata projettiva alla stella formata dalle loro rispettive polari. Donde segue che il rapporto anarmonico di quattro rette divergenti da un punto è eguale al rapporto anarmonico dei loro poli¹.

La retta polare di un punto $o$ sega la conica fondamentale ne’ punti in cui questa è toccata da rette uscenti da $o$ (70).

Considerando la conica fondamentale come una curva di seconda classe, se da un punto qualunque di una retta data si tirano le due tangenti alla curva, la retta coniugata armonica della data, rispetto a queste due tangenti, passa per un punto fisso (82) che è il polo della retta data.

Due figure, l’una delle quali contenga i poli e le polari delle rette e dei punti dell’altra, diconsi polari reciproche. Sui pochi principii or dichiarati si fonda il celebre metodo di Poncelet² per passare dalle proprietà dell’una a quelle dell’altra figura.

108. Due punti $o,\,o'$, l’un de’ quali giaccia nella polare dell’altro, diconsi poli coniugati. Le infinite coppie di poli coniugati esistenti in una trasversale formano

Le polari di due poli coniugati, ossia due rette passanti ciascuna pel polo dell’altra, diconsi coniugate. Le infinite coppie di polari coniugate passanti per uno

---

1. Chasles, Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science etc. (Mémoires couronnés par l’Académie R. de Bruxelles, t. 11, 1837, p. 582).
2. Poncelet, {Solution ..., citato al n. 70.} — Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822, p. 122. — Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Giornale di Crelle, t. 4, Berlino 1829, p. 1).