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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Queste importanti relazioni fra l’ordine, la classe e le singolarità di una curva piana sono state scoperte dal sig. Plücker¹.

101. Se una curva deve avere un punto doppio, senza che questo sia dato, ciò equivale ad una condizione; infatti, a tal uopo basta che tre prime polari (non appartenenti ad uno stesso fascio) abbiano un punto comune. Invece, se la curva deve avere un punto stazionario, senza che questo sia dato, ossia se tre prime polari (non appartenenti ad uno stesso fascio) debbono toccarsi in uno stesso punto, ciò esige due condizioni. Onde segue che, se una curva d’ordine $n$ deve avere $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, essa sarà determinata (34) da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-\delta -2\chi$ condizioni. E, in virtù del principio di dualità, ${\tfrac {m(m+3)}{2}}-\tau -2\iota$ condizioni determineranno una curva della classe $m$ la quale debba essere fornita di $\tau$ tangenti doppie e di $\iota$ tangenti stazionarie.

Perciò, se i numeri $n,\,m,\,\delta ,\,\chi ,\,\tau ,\,\iota$ competono ad una sola e medesima curva, dovrà essere:

8)	${\frac {n(n+3)}{2}}-\delta -2\chi ={\frac {m(m+3)}{2}}-\tau -2\iota$,

formola che può dedursi anche dalle 1), 2) ...². Ma, ove sia stabilita a priori, come qui si è fatto, essa insieme con due qualunque delle 1), 2), ... potrà servire a somministrare tutte le altre³.

102. Noi prenderemo quind’innanzi a studiare le proprietà di una curva ${\rm {C_{n}}}$ di un dato ordine $n$, la quale supporremo affatto generale fra quelle dello stesso ordine. Epperò, a meno che non si facciano dichiarazioni in contrario, la curva fondamentale sarà della classe $n(n-1)$ ed avrà nessun punto multiplo, $3n(n-2)$ flessi e ${\tfrac {1}{2}}n(n-2)(n^{2}-9)$ tangenti doppie.

Le prime polari relative a ${\rm {C_{n}}}$ formano una rete dell’ordine $n-1$, l’Hessiana della quale taglia ${\rm {C_{n}}}$ ne’ $3n(n-2)$ flessi di questa. La Steineriana della rete (98, a), che è anche la Steineriana di ${\rm {C_{n}}}$ (88, d), è dell’ordine $3(n-2)^{2}$.

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1. Theorie der algeb. Curven, p. 211.
2. {La (8) è una conseguenza delle (5), (7). Da queste si deduce anche:

   ${\frac {(n-1)(n-2)}{2}}-(\delta +\chi )={\frac {(m-1)(m-2)}{2}}-(\tau +\iota )$.}

3. Salmon, Higher plane curves, p. 92.