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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Così possiamo concludere che:

(d) Data una rete di curve passanti per uno stesso punto $o$, la curva Hessiana della rete passa due volte per $o$ ed ivi ha le due tangenti comuni con quella curva della rete, per la quale $o$ è un punto doppio.⁷⁹

97. Passiamo ad esaminare il caso in cui il punto $o$, comune alle tre curve ${\rm {C,\,C',\,C''}}$, sia una cuspide per l’ultima di esse, e la tangente cuspidale ${\rm {T}}$ tocchi in $o$ anche ${\rm {C}}$ e ${\rm {C'}}$.

(a) Le curve ${\rm {C,\,C'}}$ avendo in $o$ la stessa tangente, all’una di esse può sostituirsi quella curva del fascio ${\rm {(CC')}}$ che ha un punto doppio in $o$ (47); onde questo punto sarà doppio per ${\rm {K'}}$, qualunque sia ${\rm {L}}$ (96, b). Ed inoltre, quando ${\rm {L}}$ coincida con ${\rm {T}}$, questa retta sarà una delle tangenti nel punto doppio per la corrispondente curva ${\rm {K'}}$.

(b) Essendo $o$ una cuspide per ${\rm {C''}}$, le prime polari, relative a questa curva, di tutt’i punti di ${\rm {L}}$ passano per $o$ ed ivi toccano ${\rm {T}}$ (74, c); e fra esse ve n’ha una, la prima polare di $o$, per la quale questo punto è una cuspide e ${\rm {T}}$ è la relativa tangente cuspidale. Inoltre, la prima polare di $o$ rispetto a ${\rm {C}}$ passa anch’essa per $o$ ed ivi tocca la medesima retta ${\rm {T}}$. Dunque (51, e), qualunque sia ${\rm {L}}$, la curva ${\rm {K''}}$ ha una cuspide in $o$, e la tangente cuspidale è ${\rm {T}}$.

Ma se ${\rm {L}}$ coincide con ${\rm {T}}$, le prime polari de’ punti di ${\rm {L}}$ relative a ${\rm {C''}}$ hanno un punto doppio in $o$ (78, a), mentre le prime polari de’ medesimi punti rispetto a ${\rm {C}}$ passano semplicemente per $o$ (70); ond’è che quella curva ${\rm {K''}}$, che corrisponde ad ${\rm {L}}$ coincidente con ${\rm {T}}$, ha un punto triplo in $o$ (52).

(c) Così è reso manifesto che le curve ${\rm {K'}}$ hanno in $o$ un punto doppio, mentre le curve ${\rm {K''}}$ hanno ivi una cuspide, e ${\rm {T}}$ è la comune tangente cuspidale. Ne consegue (52) che $o$ è un punto quadruplo per la complessiva curva d’ordine $4(m-1)$ generata dai due fasci projettivi delle ${\rm {K',\,K''}}$ e che due de’ quattro rami passanti per $o$ sono ivi toccati dalla retta ${\rm {T}}$. Gli altri due rami sono toccati in $o$ dalle tangenti della curva ${\rm {K'}}$ corrispondente a quella curva ${\rm {K''}}$ che ha in $o$ un punto triplo (52, a). La curva ${\rm {K''}}$, per la quale $o$ è un punto triplo, corrisponde ad ${\rm {L}}$ coincidente con ${\rm {T}}$ (b), epperò corrisponde appunto a quella curva ${\rm {K'}}$ che ha un ramo toccato in $o$ dalla ${\rm {T}}$ (a). Dunque tre delle quattro tangenti nel punto quadruplo $o$ della curva complessiva d’ordine $4(m-1)$ sono sovrapposte in ${\rm {T}}$.

La curva d’ordine $4(m-1)$ è composta della Jacobiana delle tre curve date e della prima polare di $o$ rispetto a ${\rm {C}}$. Questa prima polare passa una volta per $o$ ed ivi ha per tangente ${\rm {T}}$; dunque la Jacobiana passa tre volte per $o$ e due de’ suoi rami sono ivi toccati dalla retta ${\rm {T}}$. Ossia:

(d) Data una rete di curve aventi un punto comune $o$ ed ivi la stessa tangente ${\rm {T}}$ [la quale sia anche la tangente in $o$ ad una curva della rete, cuspidata in $o$],⁸⁰ la curva Hessiana della rete ha tre rami passanti per $o$, due de’ quali sono ivi tangenti alla retta ${\rm {T}}$.

Cremona, tomo I.

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