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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

${\rm {C,\,C'}}$ sostituisconsi due curve qualunque del fascio determinato da quelle. Sostituendo a ${\rm {C}}$ la curva ${\rm {C^{o}}}$ tangente in $o$ alla retta ${\rm {L}}$, le prime polari di tutt’i punti di ${\rm {L}}$ relative a ${\rm {C^{o}}}$ passeranno per $o$ (70). Per $o$ passa anche la prima polare di $o$ relativa a ${\rm {C'}}$; quindi la tangente in $o$ alla curva ${\rm {K'}}$ sarà la retta che ivi tocca la prima polare di $o$ rispetto a ${\rm {C^{o}}}$ (51, a), ossia la retta ${\rm {L}}$. Dunque: quando le curve ${\rm {C,\,C'}}$ sono dello stesso ordine e passano per $o$, anche la curva ${\rm {K'}}$ passa per $o$ ed ivi tocca quella retta ${\rm {L}}$ a cui essa corrisponde.

(b) Essendo $o$ un punto doppio per la curva ${\rm {C''}}$, le prime polari, relative ad essa, di tutt’i punti della retta ${\rm {L}}$ passano per $o$ ed ivi toccano una medesima retta ${\rm {L'}}$, la coniugata armonica di ${\rm {L}}$ rispetto alle due tangenti di ${\rm {C''}}$ nel punto doppio (74, c).

La curva ${\rm {K''}}$ (93) è generata da due fasci projettivi, l’uno delle prime polari de’ punti di ${\rm {L}}$ rispetto a ${\rm {C''}}$, l’altro delle prime polari de’ medesimi punti rispetto a ${\rm {C}}$. Le curve del primo fascio hanno in $o$ una stessa tangente ${\rm {L'}}$. E alla curva del secondo fascio che passa per $o$, cioè alla prima polare di $o$ rispetto a ${\rm {C}}$, corrisponde la prima polare di $o$ relativa a ${\rm {C''}}$, ossia quella curva del primo fascio per la quale $o$ è un punto doppio. Per conseguenza, qualunque sia la retta ${\rm {L}}$, la curva ${\rm {K''}}$ generata dai due fasci ha in $o$ un punto doppio (51, b). Inoltre, quando ${\rm {L}}$ sia una delle tangenti di ${\rm {C''}}$ nel punto doppio (51, d), ovvero quando ${\rm {L}}$ sia tangente in $o$ alla curva ${\rm {C}}$, nel qual caso anche le curve del secondo fascio passano per $o$ (52, a), in entrambi questi casi, dico, la retta ${\rm {L}}$ è una delle tangenti a ${\rm {K''}}$ nel punto doppio $o$.

Dunque: se ${\rm {C}}$ e ${\rm {C''}}$ hanno un punto comune $o$ che sia doppio per ${\rm {C''}}$, la curva ${\rm {K''}}$ relativa ad una data retta ${\rm {L}}$ (passante per $o$) ha un punto doppio in $o$; ed ${\rm {L}}$ è una delle due relative tangenti, ogniqualvolta essa sia tangente in $o$ ad una delle due curve date.

(c) Così abbiamo veduto che, nel caso preso in considerazione, il punto $o$ appartiene a tutte le curve ${\rm {K'}}$ relative alle rette ${\rm {L}}$ condotte per esso (a) ed è doppio per tutte le curve ${\rm {K''}}$ corrispondenti alle rette medesime (b). Dunque (52) $o$ sarà un punto triplo per la complessiva curva d’ordine $4(m-1)$ generata dai due fasci projettivi delle ${\rm {K'}}$ e delle ${\rm {K''}}$ (93). Ma di questa curva complessiva fa parte la prima polare di $o$ relativa a ${\rm {C}}$, la quale prima polare passa una volta per $o$; dunque questo punto è doppio per la curva rimanente d’ordine $3(m-1)$, cioè per la Jacobiana.

Le rette ${\rm {L}}$ sono tangenti (a) alle relative curve ${\rm {K'}}$; dunque (52) le tangenti alla curva risultante d’ordine $4(m-1)$ nel punto triplo $o$ saranno quelle rette ${\rm {L}}$ che toccano anche le relative curve ${\rm {K''}}$. Ma ${\rm {L}}$ tocca la corrispondente ${\rm {K''}}$ (b) quando è tangente a ${\rm {C}}$ o a ${\rm {C''}}$; epperò le tre tangenti nel punto triplo sono la tangente a ${\rm {C}}$ e le due tangenti di ${\rm {C''}}$. Di queste tre rette, la prima è tangente (71) alla prima polare di $o$ relativa a ${\rm {C}}$; dunque le altre due sono le tangenti della Jacobiana nel punto doppio $o$.