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| introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. | 399 |
94. Suppongasi , cioè due delle curve date siano dello stesso ordine. In tal caso la Jacobiana non si cambia, se a quelle due curve se ne sostituiscono due altre qualunque del fascio da esse determinato. Il che è evidente, perchè la Jacobiana è il luogo di un punto pel quale passino le tre prime polari d’uno stesso polo; e d’altronde le prime polari d’uno stesso polo rispetto a tutte le curve d’un fascio formano un nuovo fascio (84, a), cioè passano per gli stessi punti.
Nel caso attuale, la Jacobiana ammette una seconda definizione. Se è un punto di essa, le rette polari di rispetto alle tre curve date concorrono in uno stesso punto . Ma è il punto pel quale passano le rette polari di rispetto a tutte le curve del fascio (84, c); cioè la retta polare di rispetto a sarà anche retta polare dello stesso punto relativamente ad una curva del fascio anzidetto. Onde può dirsi che la Jacobiana delle curve date è il luogo di un punto avente la stessa retta polare rispetto a e ad alcuna delle curve del fascio ; il qual luogo abbiamo già investigato altrove (87).
95. Supponiamo , cioè le curve date siano tutte e tre dello stesso ordine . Siccome a due qualunque di esse se ne ponno sostituire (94) due altre del fascio da quelle due determinato, così alle tre date se ne potranno sostituire tre qualunque della rete (92) individuata dalle curve date (purchè non appartengano ad uno stesso fascio), senza che la Jacobiana sia punto alterata. Onde, data una rete di curve d’ordine , il luogo di un polo, le cui rette polari rispetto alle curve della rete concorrano in uno stesso punto, è una linea d’ordine , passante pei punti doppi delle curve medesime (93). Perciò, nel caso di cui si tratta, la Jacobiana coincide coll’Hessiana della rete (92). Abbiamo così un’altra definizione dell’Hessiana di una data rete geometrica.
Vogliamo ora esaminare più davvicino il caso nel quale le curve della rete si seghino tutte in uno stesso punto dato, ed anche quello in cui le curve medesime si tocchino nel punto comune {e una di esse abbia ivi una cuspide, e per tangente la tangente comune}. Nel primo caso possiamo supporre che una delle tre curve individuanti la rete sia quella per la quale il punto dato è un punto doppio; e nel secondo caso potremo assumere quella curva che nel punto dato ha una cuspide ed ivi tocca la tangente comune a tutte le curve della rete (92, a, b).
96. Siano date adunque tre curve dello stesso ordine , aventi un punto comune, il quale sia doppio per una di esse, ; in quel punto si collochi il polo , del quale abbiamo fatto uso (93) nella ricerca generale della Jacobiana.
(a) Le prime polari del punto rispetto alle curve passano per , onde per questo punto passerà anche la curva , qualunque sia la retta a cui corrisponde (93).
La curva corrispondente ad una data retta rimane la stessa, se alle curve
