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398 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

e si determinino i punti dotati della proprietà che in ciascun d’essi concorrano le prime polari di uno stesso punto di ; indi, fatta girare questa retta intorno ad , si otterranno tutt’i punti del luogo richiesto.

Le prime polari de’ punti di rispetto alle curve formano due fasci projettivi (77), onde le curve corrispondenti, cioè le polari di uno stesso punto di , si segheranno ne’ punti di una curva dell’ordine passante pei punti delle basi de’ due fasci. E qui si noti che la base del primo fascio è formata dagli punti ne’ quali la prima polare di rispetto a sega la prima polare di un altro punto qualunque di rispetto alla curva medesima. Così abbiamo ottenuto la curva , luogo di un punto pel quale passino le prime polari, relative a e , di uno stesso punto di .

Ogni retta condotta pel punto fisso individua una curva . Di tali curve ne passa una sola per un punto qualunque . Infatti, se per devono passare le prime polari relative a e , il polo sarà l’intersezione delle rette polari di (69, a); il punto determina una retta passante per , e questa individua la curva passante per . Dunque, variando intorno ad , la curva genera un fascio (41).

Ora, se alla curva si sostituisce , la retta darà luogo analogamente ad una curva d’ordine , la quale passerà per gli stessi punti-base del primo fascio, che ha servito per generare anche . Variando intorno ad , le corrispondenti curve formano un fascio. I due fasci formati dalle curve sono projettivi fra loro, perchè ciascun d’essi è projettivo al fascio di rette passanti per . Laonde quei due fasci, l’uno dell’ordine , l’altro dell’ordine , genereranno una curva dell’ordine (50). Siccome però due curve corrispondenti hanno sempre in comune punti situati in una curva fissa dell’ordine (la prima polare del punto rispetto a ), così gli altri punti comuni alle omologhe curve genereranno una curva dell’ordine (50, a). E questo è evidentemente il luogo richiesto.

Questa curva si chiamerà la Jacobiana delle tre curve date1.

Se le tre curve date passano per uno stesso punto , le rette polari di questo passano per esso medesimo; dunque, se le curve hanno punti comuni a tutte e tre, questi sono anche punti della loro Jacobiana.

Se una delle curve date, per esempio , ha un punto doppio , la retta polare di questo punto rispetto a è indeterminata (72), onde può risguardarsi come tale la retta che unisce all’intersezione delle rette polari di questo punto relative alle altre due curve . Dunque la Jacobiana passa pei punti doppi delle curve date.


  1. Sylvester, l. c. p. 546.