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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

O in altre parole, avuto anche riguardo al teorema (78):

Il luogo dei poli delle prime polari dotate di punto doppio, rispetto ad una data linea d’ordine $n$ , ossia il luogo de’ punti d’incrociamento di quelle coppie di rette che costituiscono coniche polari, è una curva dell’ordine $3(n-2)^{2}$ .

Questo luogo si chiamerà curva Steineriana¹ della curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ ².

(e) Se la curva fondamentale ha una cuspide $d$ , ogni punto della tangente cuspidale è polo di una prima polare avente un punto doppio in $d$ (78, a). Perciò la tangente medesima farà parte della Steineriana.

89. Le rette polari di un punto fisso rispetto alle curve d’un fascio passano tutte per un altro punto fisso (84, c). Se si considera nel fascio una curva dotata di un punto doppio $d$ , la retta polare di $d$ rispetto a questa curva è indeterminata (72); talchè le rette polari di $d$ , relativamente a tutte le altre curve del fascio, si confonderanno in una retta unica. Vale a dire:

I punti doppi delle curve d’un fascio godono della proprietà che ciascun d’essi ha la stessa retta polare rispetto a tutte le curve del fascio.

Di qui s’inferisce che (86):

Il luogo dei poli di una retta rispetto alle curve di un fascio d’ordine $m$ e una linea dell’ordine $2(m-1)$ passante pei $3(m-1)^{2}$ punti doppi del fascio.

E il luogo di un punto avente la stessa retta polare, rispetto ad una data curva ${\rm {C_{n}}}$ e alle curve ${\rm {C_{m}}}$ d’un fascio, è (87) una curva dell’ordine $n+2m-3$ passante pei $3(m-1)^{2}$ punti doppi del fascio. Pertanto questi punti e quelli ove ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da alcuna delle ${\rm {C_{m}}}$ giacciono tutti insieme nell’anzidetta curva d’ordine $n+2m-3$ . In particolare:

Una retta data è toccata da $2(m-1)$ curve d’un dato fascio d’ordine $m$ . I $2(m-1)$ punti di contatto, insieme coi $3(m-1)^{2}$ punti doppi del fascio, giacciono in una curva dell’ordine $2(m-1)$ , luogo dei poli della retta data rispetto alle curve del fascio.

90. Dati due fasci di curve, i cui ordini siano $m$ ed $m_{1}$ , vogliamo indagare di qual ordine sia il luogo di un punto nel quale una curva del primo fascio tocchi una curva del secondo. Avanti tutto, è evidente che il luogo richiesto passa per gli $m^{2}+m_{1}^{2}$ punti-base dei due fasci; perchè, se $a$ è un punto-base del primo fascio, per esso passa una

↑ Dal nome del grande geometra alemanno che primo, a quanto io so, la fece conoscere.
↑ {Se la prima polare di $o$ ha un punto doppio $p$ , ne segue:
1º) che tutte le prime polari passanti per $p$ avranno ivi una tangente comune. Il punto ove questa incontra la retta polare di $p$ avrà la sua prima e la seconda polare passanti per $p$ . Ma il punto dotato di questa proprietà è $o$ ; dunque la tangente comune è $po$ .
2º) La prima polare di un altro punto qualunque rispetto a quella di $o$ passerà per $p$ ; dunque le prime polari di $o$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passano per $p$ ; e conseguentemente le rette polari di $p$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passeranno per $o$ .}

[1] Dal nome del grande geometra alemanno che primo, a quanto io so, la fece conoscere.

[2] {Se la prima polare di $o$ ha un punto doppio $p$ , ne segue:
1º) che tutte le prime polari passanti per $p$ avranno ivi una tangente comune. Il punto ove questa incontra la retta polare di $p$ avrà la sua prima e la seconda polare passanti per $p$ . Ma il punto dotato di questa proprietà è $o$ ; dunque la tangente comune è $po$ .
2º) La prima polare di un altro punto qualunque rispetto a quella di $o$ passerà per $p$ ; dunque le prime polari di $o$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passano per $p$ ; e conseguentemente le rette polari di $p$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passeranno per $o$ .}

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