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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

passano per un arbitrario punto $o$, ciascuna avente un polo in ${\rm {C_{m}}}$? Se la retta polare passa per $o$, il polo è (69, a) nella prima polare di $o$, la quale sega ${\rm {C_{m}}}$ in $m(n-1)$ punti. Questi sono i soli punti di ${\rm {C_{m}}}$, le rette polari de’ quali passino per $o$; dunque: se il polo percorre una curva dell’ordine $m$, la retta polare inviluppa una curva della classe $m(n-1)$.

(a) Per $m=1$ si ha: se il polo percorre una retta ${\rm {R}}$, la retta polare inviluppa una curva della classe $n-1$.

(b) Se la curva fondamentale ha un punto $(r)$^plo $d$, la prima polare di $o$ passa $r-1$ volte per $d$ (73); quindi, se anche ${\rm {R}}$ passa per quest’ultimo punto, la prima polare di $o$ segherà ${\rm {R}}$ in altri $(n-1)-(r-1)$ punti; cioè la classe dell’inviluppo richiesto sarà $n-r$.

(c) Se inoltre $s[>1]$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ hanno in $d$ la tangente comune, questa tocca ivi $s-1$ rami della prima polare di $o$ (74); onde, se ${\rm {R}}$ è questa tangente, le rimanenti sue intersezioni colla prima polare di $o$ saranno in numero $(n-1)-(r-1)-1$;⁶⁸ dunque la classe dell’inviluppo è in questo caso $n-(r+1)$.

82. Come la teoria de’ centri armonici di un sistema di punti in linea retta serve di base alla teoria delle curve polari relative ad una curva fondamentale di dato ordine, così le proprietà degli assi armonici di un fascio di rette divergenti da un punto (19, 20), conducono a stabilire un’analoga teoria di inviluppi polari relativi ad una curva fondamentale di data classe.

Data una curva ${\rm {K}}$ della classe $m$ ed una retta ${\rm {R}}$ nello stesso piano, da un punto qualunque $p$ di ${\rm {R}}$ siano condotte le $m$ tangenti a ${\rm {K}}$; gli assi armonici, di grado $r$, del sistema di queste $m$ tangenti rispetto alla retta fissa ${\rm {R}}$ inviluppano, quando $p$ muovasi in ${\rm {R}}$, una linea della classe $r$. Così la retta ${\rm {R}}$ dà luogo ad $m-1$ inviluppi polari, le cui classi cominciano con $m-1$ e finiscono con $1$. L’inviluppo polare di classe più alta tocca le rette tangenti a ${\rm {K}}$ ne’ punti comuni a questa linea e ad ${\rm {R}}$; onde segue che ${\rm {R}}$ incontra ${\rm {K}}$ in $m(m-1)$ punti, cioè una curva della classe $m$ è generalmente dell’ordine $m(m-1)$. Ma questo è diminuito di due unità per ogni tangente doppia e di tre unità per ogni tangente stazionaria di cui sia dotata la curva fondamentale; ecc. ecc.

Art. XIV.

Teoremi relativi ai sistemi di curve.

83. Due serie di curve (34) si diranno projettive, quando, in virtù di una qualsiasi legge data, a ciascuna curva della prima serie corrisponda una sola curva della seconda e reciprocamente.⁶⁹