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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Le rette doppie dell’involuzione suaccennata incontrino la tangente cuspidale in $o_{1}$, $o_{2}$. Siccome $o_{1}$ è un punto doppio sì per la conica polare (sempre rispetto alla cubica polare di $o'$) di $o$, che per la conica polare rappresentata dalla retta $oo_{1}$, così (78) la conica polare di $o_{1}$ avrà un punto doppio in $o$ ed un altro sopra $o_{1}o_{2}$, vale a dire, sarà il sistema di due rette coincidenti. Dunque le rette $oo_{2}$, $oo_{1}$ costituiscono separatamente le coniche polari de’ punti $o_{1}$, $o_{2}$; ossia:

Se la prima polare di $o$ ha una cuspide $o'$, nella tangente cuspidale esistono due punti $o_{1}$, $o_{2}$, i quali insieme con $o$ formano un triangolo, tale che ciascun lato considerato come due rette coincidenti è la conica polare del vertice opposto, relativamente alla cubica polare del punto $o'$.

80. Consideriamo ora una tangente stazionaria della data curva ${\rm {C_{n}}}$ ed il relativo punto di contatto o flesso $i$. Preso un polo $o$ nella tangente stazionaria e considerata questa come trasversale (68), tre punti $a$ sono riuniti nel flesso (29), epperò questo tien luogo di due centri armonici del grado $n-1$ e di un centro armonico del grado $n-2$ (16). Vale a dire, la prima polare di $o$ passa per $i$ ed ivi tocca ${\rm {C_{n}}}$; e per $i$ passa anche la seconda polare di $o$¹.

Come adunque per $i$ passa la seconda polare d’ogni punto $o$ della tangente stazionaria, così (69, a) la conica polare di $i$ conterrà tutt’i punti della tangente medesima. Dunque la conica polare di un flesso si decompone in due rette, una delle quali è la rispettiva tangente stazionaria.

Se $i'$ è il punto comune alle due rette che formano la conica polare del flesso $i$, la prima polare di $i'$ avrà (78) un punto doppio in $i$. Ossia: un flesso della curva data è un punto doppio di una prima polare, il cui polo giace nella tangente stazionaria.

Se un punto $p$ appartiene a ${\rm {C_{n}}}$ ed ha per conica polare il sistema di due rette, esso sarà o un punto doppio o un flesso della curva data. Infatti: o le due rette passano entrambe per $p$, e la retta polare di questo punto riesce indeterminata, cioè $p$ è un punto doppio della curva. Ovvero, una sola delle due rette passa per $p$, ed è la tangente alla curva in questo punto (71); tutt’i punti di questa retta appartengono alle polari $(n-1)$^ma ed $(n-2)$^ma di $p$, dunque la prima e la seconda polare di ciascun di que’ punti passa per $p$, il che non può essere, se quella retta non ha in $p$ un contatto tripunto colla curva data (16).

81. Siccome ad ogni punto preso nel piano della curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ corrisponde una retta polare, così domandiamo: se il polo percorre una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$, di qual classe è la curva inviluppata dalla retta polare? ossia, quante rette polari

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1. {Tutte le polari d’un flesso hanno questo punto per flesso, colla medesima tangente stazionaria.}