Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/399

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

385

E reciprocamente: se i lati $bc,\,ca,\,ab$ di un trilatero $abc$ sono incontrati da una trasversale in $a',\,b',\,c'$ e se $a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ sono ordinatamente i coniugati armonici di $a',\,b',\,c'$ rispetto alle coppie $bc,\,ca,\,ab$, le rette $aa_{1},\,bb_{1},\,cc_{1}$ concorrono in uno stesso punto (il polo della trasversale).

77. Le prime polari di due punti qualunque $o$, $o'$ (rispetto alla data curva ${\rm {C_{n}}}$) si segano in $(n-1)^{2}$ punti, ciascun de’ quali, giacendo in entrambe le prime polari, avrà la sua retta polare passante sì per $o$ che per $o'$ (69, a). Dunque:

Una retta qualunque è polare di $(n-1)^{2}$ punti diversi, i quali sono le intersezioni delle prime polari di due punti arbitrari della medesima. Ossia:

Le prime polari di tutt’i punti di una retta formano un fascio di curve passanti per gli stessi $(n-1)^{2}$ punti¹.

(a) In virtù di tale proprietà, tutte le prime polari passanti per un punto $o$ hanno in comune altri $(n-1)^{2}-1$ punti, cioè formano un fascio, la base del quale consta degli $(n-1)^{2}$ poli della retta polare di $o$. Per due punti $o$, $o'$ passa una sola prima polare ed è quella il cui polo è l’intersezione delle rette polari di $o$ ed $o'$.

Dunque tre prime polari bastano per individuare tutte le altre. Infatti: date tre prime polari ${\rm {C'}}$, ${\rm {C''}}$, ${\rm {C'''}}$, i cui poli non siano in linea retta, si domanda quella che passa per due punti dati $o$, $o'$. Le curve ${\rm {C'}}$, ${\rm {C''}}$ determinano un fascio, ed un altro fascio è determinato dalle ${\rm {C'}}$, ${\rm {C'''}}$. Le curve che appartengono rispettivamente a questi due fasci e passano entrambe per $o$ individuano un terzo fascio. Quella curva del terzo fascio che passa per $o'$ è evidentemente la richiesta.

(b) Se tre prime polari, i cui poli non siano in linea retta, passano per uno stesso punto, questo sarà comune a tutte le altre prime polari e sarà doppio per la curva fondamentale (73); infatti la sua retta polare, potendo passare per qualunque punto del piano (69, a), riesce indeterminata (72).

78. Suppongasi che la polare $(r)$^ma di un punto $o$ abbia un punto doppio $o'$, onde la prima polare di un punto arbitrario $m$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$ (considerata questa come curva fondamentale) passerà per $o'$ (73). A cagione del teorema (69, d), la prima polare di $m$ rispetto alla $(n-r-1)$^ma polare di $o'$ passerà per $o$. Inoltre, siccome l’$(r+1)$^ma polare di $o$ passa per $o'$, così il punto $o$ giace nell’$(n-r-1)$^ma polare di $o'$ (69, a). Dunque (77, b):

Se la polare $(r)$^ma di $o$ ha un punto doppio $o'$, viceversa l’$(n-r-1)$^ma polare di $o'$ ha un punto doppio in $o$².

---

1. Bobillier, Démonstrations de quelques théorèmes sur les lignes etc. (Annales de Gergonne, t. 18, Nismes 1827-28, p. 97).
2. Steiner, Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven (Giornale di Crelle, t. 47, Berlino 1853, p. 4).

Cremona, tomo I.

25