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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

si hanno $s-1$ cuspidi, mentre ogni altra combinazione di due rami darà un punto doppio ordinario. Ossia: un punto $(r)$^plo con $s$ tangenti riunite produce, rispetto alla classe della curva, la stessa diminuzione che produrrebbero ${\tfrac {r(r-1)}{2}}-(s-1)$ punti doppi ordinari ed $s-1$ cuspidi.

75. Da un polo $o$ condotte due trasversali a segare la curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ rispettivamente in $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$, $b_{1}b_{2}\dots b_{n}$, se $\alpha$, $\beta$ sono i centri armonici, di primo grado, di questi due sistemi di $n$ punti rispetto ad $o$, la retta polare di $o$ sarà $\alpha \beta$. Donde segue che, se pei medesimi punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$, $b_{1}b_{2}\dots b_{n}$ passa una seconda linea ${\rm {C_{n}'}}$ dell’ordine $n$, la retta $\alpha \beta$ sarà la polare di $o$ anche rispetto a ${\rm {C_{n}'}}$. Imaginando ora che le due trasversali $oa,\,ob$ siano infinitamente vicine, arriviamo al teorema:

Se due linee dell’ordine $n$ si toccano in $n$ punti situati in una stessa retta, un punto qualunque di questa ha la medesima retta polare rispetto ad entrambe le linee date¹.

La seconda linea può essere il sistema delle tangenti a ${\rm {C_{n}}}$ negli $n$ punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$; dunque:

Un polo, che sia in linea retta con $n$ punti di una curva dell’ordine $n$, ha la stessa retta polare rispetto alla curva e rispetto alle tangenti di questa negli $n$ punti.

Ciò torna a dire che, se una trasversale tirata ad arbitrio pel polo $o$ incontra la curva in $c_{1}c_{2}\dots c_{n}$ e le $n$ tangenti in $t_{1}t_{2}\dots t_{n}$, si avrà (11):

${\frac {1}{oc_{1}}}+{\frac {1}{oc_{2}}}+\dots +{\frac {1}{oc_{n}}}={\frac {1}{ot_{1}}}+{\frac {1}{ot_{2}}}+\dots +{\frac {1}{ot_{n}}}$².

76. Sian date $n$ rette ${\rm {A_{1}A_{2}\dots A_{n}}}$ situate comunque nel piano, ed un polo $o$; sia ${\rm {P_{r}}}$ la retta polare di $o$ rispetto al sistema delle $n-1$ rette ${\rm {A_{1}A_{2}\dots A_{r-1}A_{r+1}\dots A_{n}}}$ considerato come luogo d’ordine $n-1$; e sia $a_{r}$ il punto in cui ${\rm {P_{r}}}$ incontra ${\rm {A_{r}}}$. In virtù del teorema (15), $a_{r}$ è anche il centro armonico di primo grado, rispetto al polo $o$, del sistema di $n$ punti in cui le $n$ rette date sono tagliate dalla trasversale $oa_{r}$; dunque:

Date $n$ rette ed un polo $o$, il punto, in cui una qualunque delle rette date incontra la retta polare di $o$ rispetto alle altre $n-1$ rette, giace nella retta polare di $o$ rispetto alle $n$ rette³.⁶⁷

Da questo teorema, per $n=3$, si ricava:

Le rette polari di un punto dato rispetto agli angoli di un trilatero incontrano i lati rispettivamente opposti in tre punti situati in una stessa retta, che è la polare del punto dato rispetto al trilatero risguardato come luogo di terz’ordine.

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1. Salmon, A treatise on the higher plane curves, Dublin 1852, p. 54.
2. Maclaurin, l. c. p. 201.
3. Cayley, Sur quelques théorèmes de la géométrie de position (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 274).