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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

essere assunto come centro armonico di grado $r$ (17). Cioè il fascio delle tangenti agli $r$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ costituisce il luogo dei centri armonici di grado $r$, rispetto al polo $d$.

73. Sia $o$ un polo dato ad arbitrio nel piano della curva ${\rm {C_{n}}}$, dotata di un punto $d$ multiplo secondo $r$. Condotta la trasversale $od$, $r$ punti $a$ coincideranno in $d$; quindi (16) questo medesimo punto terrà luogo di $r-s$ centri armonici del grado $n-s$ ($s<r$).

{Da ciò segue che la polare $(s)$^ma di $o$ passa per $d$. La polare $[(n-s)-(r-s)]$^ma di $d$ rispetto alla polare $(s)$^ma di $o$ coincide [69, c] colla polare $(s)$^ma di $o$ rispetto alla polare $(n-r)$^ma di $d$; ma quest’ultima è il sistema di $r$ rette incrociate in $d$; dunque⁶⁵ la polare $[(n-s)-(r-s)]$^ma di $d$ rispetto alla polare $(s)$^ma di $o$ consta di $r-s$ rette per $d$. Cioè [cfr. nota al n.° preced.] $d$ è un punto $(r-s)$^plo per la polare $(s)$^ma di $o$, e le tangenti a questa in $d$ sono le $r-s$ rette formanti la polare $(s)$^ma di $o$ rispetto al fascio delle $r$ tangenti di ${\rm {C_{n}}}$ in $d$.} Ossia:

Un punto $(r)$^plo della curva fondamentale è multiplo secondo $r-s$ per la polare $(s)$^ma di qualsivoglia polo.⁶⁶

(a) Applichiamo le cose premesse al caso che ${\rm {C_{n}}}$ sia il sistema di $n$ rette concorrenti in uno stesso punto $d$. Questo, essendo un punto $(n)$^plo pel luogo fondamentale, sarà multiplo secondo $n-1$ per la prima polare di un punto qualunque $o$; la quale sarà per conseguenza composta di $n-1$ rette incrociantisi in $d$.

Condotta pel polo $o$ una trasversale qualunque che seghi le $n$ rette date in $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$, se $m_{1}m_{2}\dots m_{n-1}$ sono i centri armonici di grado $n-1$, le rette $d(m_{1},m_{2},\dots m_{n-1})$ costituiranno la prima polare di $o$ (20). Questa prima polare non cambia (18), quando il polo $o$ varii mantenendosi sopra una retta passante per $d$.

Se fra le $n$ rette date ve ne sono $s$ coincidenti in una sola $da$, nel punto $a$ saranno riuniti (16) $s-1$ centri armonici di grado $n-1$, epperò $s-1$ rette $dm$ coincideranno in $da$, qualunque sia $o$.

(b) Come caso particolare, per $n=2$ si ha:

Se la linea fondamentale è un pajo di rette $d(a_{1},\,a_{2})$, la polare di un punto $o$ è la retta coniugata armonica di $do$ rispetto alle due date¹. E se queste coincidono, con esse si confonde anche la polare, qualunque sia il polo.

74. Ritorniamo ad una curva qualunque ${\rm {C_{n}}}$ dotata di un punto $(r)$^plo $d$. Assunto un polo arbitrario $o$, la prima polare di questo passerà $r-1$ volte per $d$ (73); e le $r$ rette tangenti a ${\rm {C_{n}}}$ in $d$ costituiranno l’$(n-r)$^ma polare del medesimo punto $d$ (72). Analogamente le $r-1$ tangenti in $d$ alla prima polare di $o$ formano l’$((n-1)-(r-1))$^ma polare di $d$ rispetto alla prima polare di $o$, ossia, ciò che è lo stesso (69, c), la prima polare di $o$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di $d$. Dunque (73, a):

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1. A questa retta si dà il nome di polare del punto $o$ rispetto all’angolo $a_{1}da_{2}$.